Pourquoi ln [E (x)]> E [ln (x)]?

Nous avons affaire à la distribution lognormale dans un cours de finance et mon manuel indique simplement que c'est vrai, ce que je trouve un peu frustrant car mes antécédents en mathématiques ne sont pas très solides mais je veux l'intuition. Quelqu'un peut-il me montrer pourquoi c'est le cas?

Rappelons que $e^x\geq 1+x$

$E\left[e^{Y}\right]=e^{ E(Y)} E\left[e^{Y- E(Y)}\right]\geq e^{E(Y)} E\left[1+{Y- E(Y)}\right] = e^{E(Y)}$

$e^{E(Y)}\leq E\left[e^{Y}\right]$

$Y=\ln X$

$e^{E(\ln X)}\leq E\left[e^{\ln X}\right]=E(X)$

prenez maintenant les journaux des deux côtés

$E[\ln (X)]\leq\ln[E(X)]$

Alternativement:

$\ln X = \ln X - \ln \mu+\ln\mu \qquad$$\mu=E(X)$

$\qquad= \ln(X/\mu)+\ln \mu$

$\qquad= \ln[ \frac{X-\mu}{\mu} + 1]+\ln \mu$

$\qquad \leq \frac{X-\mu}{\mu} + \ln \mu\qquad$$\ln(t+1)\leq t$

Prenez maintenant les attentes des deux côtés:

$E[\ln(X)] \leq \ln\mu$

Une illustration (montrant le lien avec l'inégalité de Jensen):

( Ici, les rôles de X et Y sont échangés de sorte qu'ils correspondent aux axes de l'intrigue; une meilleure planification aurait inversé leurs rôles ci-dessus afin que l'intrigue corresponde plus directement à l'algèbre. )

Les lignes de couleur unie représentent les moyennes sur chaque axe.

$X$$Y$$Y$