Distribution pour refléter une situation où une certaine attente nous amène à attendre plus d'attente

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En lisant les notes de Blake Master sur la conférence de Peter Thiel sur les start-ups, je suis tombé sur cette métaphore de la frontière technologique:

Imaginez le monde couvert d'étangs, de lacs et d'océans. Vous êtes dans un bateau, dans un plan d'eau. Mais c'est extrêmement brumeux, donc vous ne savez pas à quelle distance il est de l'autre côté. Vous ne savez pas si vous êtes dans un étang, un lac ou un océan.

Si vous êtes dans un étang, vous pourriez vous attendre à ce que la traversée prenne environ une heure. Donc, si vous êtes sorti toute une journée, vous êtes dans un lac ou un océan. Si vous êtes absent depuis un an, vous traversez un océan. Plus le voyage est long, plus le trajet restant est long. Il est vrai que vous vous rapprochez de l'autre côté au fil du temps. Mais ici, le temps qui passe indique également que vous avez encore beaucoup de chemin à parcourir.

Ma question: existe-t-il une distribution de probabilité ou un cadre statistique qui modélise le mieux cette situation, en particulier la partie en gras?

distributions queueing interarrival-time

— Andy McKenzie
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La distribution exponentielle a la propriété d'être "sans mémoire", c'est-à-dire (en utilisant votre analogie) que la durée de votre voyage jusqu'à présent n'a aucun effet sur la durée du voyage restant. Si la densité de distribution décroît plus vite que celle de la distribution exponentielle, alors un voyage plus long signifiera un voyage restant plus court; à l'inverse, une densité qui se désintègre plus lentement que l'exponentielle (voir par exemple exemple les distributions sous-exponentielles ) aura la propriété que vous décrivez.

Comme je pense que la comparaison avec l'absence de mémoire est la plus claire, ma première suggestion serait de regarder d'autres distributions pour lesquelles la distribution exponentielle est un cas spécial. Cela vous permettra de contrôler assez intuitivement l'ampleur de cet effet. La distribution de Weibull avec un paramètre de forme serait un bon choix. $<1$

— bnaul
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Bonne réponse bnaui. J'avais l'intention de dire quelque chose de similaire.

— Michael R. Chernick

Bonne réponse, merci. J'aime le lien avec l'absence de mémoire et les déviations. C'est une bien meilleure explication que celles que j'expliquais

— Andy McKenzie

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f (x) = \frac{α x_{m}}{x^{α - 1}}

$f(x) = \frac{\alpha x_m}{x^{\alpha - 1}}$

[x_{m}, \infty)

$[x_m, \infty)$

α > 0

$\alpha>0$

x > y

$x>y$

y

$y$ comme nouveau minimum.

$E[x] = \frac{\alpha x_m}{\alpha - 1}$ $\alpha=2$ $T$ $2T$

— Blake Riley
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Nous pouvons établir deux connexions ici. Tout d'abord, l'exemple de @ bnaul est illustratif car l'exponentielle est un cas particulier du Weibull, dont ce dernier a une fonction de hasard monotone . Selon le paramètre de forme, il peut couvrir à la fois le cas de "plus vous attendez, plus vous attendez" et également le cas de "plus vous attendez, plus vous vous attendez à devoir attendre plus longtemps". Votre exemple est agréable car le Pareto est l'exponentiation d'une exponentielle, et de ce fait nombre de ses propriétés dérivent, y compris celle que vous mentionnez.

— cardinal

+1 bonne réponse, merci. Cela rend le processus un peu plus intuitif.

— Andy McKenzie