Référence pour ?

Dans sa réponse à ma question précédente, @Erik P. donne l'expression où est l' excès de kurtosis de la distribution. Une référence à l'entrée Wikipedia sur la distribution de la variance de l'échantillon est donnée, mais la page wikipedia dit "la citation nécessaire".

V a r [s^{2}] = σ^{4} (\frac{2}{n - 1} + \frac{κ}{n}),

$\mathrm{Var}[s^2]=\sigma^4 \left(\frac{2}{n-1} + \frac{\kappa}{n}\right) \>,$

κ

$\kappa$

Ma question principale est, existe-t-il une référence pour cette formule? Est-il «trivial» de dériver, et si oui, peut-on le trouver dans un manuel? (@Erik P. n'a pas pu le trouver dans Statistiques statistiques et analyse des données, ni dans Inference statistique par Casella et Berger . Même si le sujet est couvert.

Ce serait bien d'avoir une référence de manuel, mais encore plus utile d'avoir une (la) référence principale.

(Une question connexe est: quelle est la distribution de la variance d'un échantillon d'une distribution inconnue? )

Mise à jour : @cardinal a souligné une autre équation sur math.SE : où est le quatrième moment central.

V a r (S^{2}) = \frac{μ_{4}}{n} - \frac{σ^{4} (n - 3)}{n (n - 1)}

$\mathrm{Var}(S^2)={\mu_4\over n}-{\sigma^4\,(n-3)\over n\,(n-1)}$

μ_{4}

$\mu_4$

Y a-t-il un moyen de réorganiser les équations et de résoudre les deux, ou l'équation dans le titre est-elle incorrecte?

estimation variance references

— Abe
source

Je ne pense pas que cette formule soit correcte.

— cardinal

Connexe: math.stackexchange.com/a/73080/7003

— cardinal

cette question connexe a été posée par @ byron-schmuland

— Abe

Je pense que vous voulez dire répondu , pas demandé . La formule donnée dans cette question est incorrecte; comme le montre bien la réponse de Byron. :)

— cardinal

Malheureusement, un tel ping ne fonctionne que s'il a déjà participé au flux de commentaires. :( (Il semble qu'il ait remarqué suite au commentaire que vous avez posté sur la question sur le site de maths.) Cheers.

— Cardinal

Réponses:

Source: Introduction à la théorie de la statistique , Mood, Graybill, Boes, 3e édition, 1974, p. 229.

Dérivation: notez que dans le lien Wikipedia du PO, n'est pas le kurtosis mais l' excès de kurtosis, qui est le kurtosis "régulier" - 3. Pour revenir au kurtosis "régulier", nous devons ajouter 3 à l'endroit approprié dans la formule Wikipedia. $\kappa$

Nous avons, du MGB:

$\text{Var}[S^2] = {1\over{n}}(\mu_4 - {{n-3}\over{n-1}}\sigma^4)$

qui, en utilisant l'identité , peut être arrangé pour (dériver le mien, donc toutes les erreurs sont aussi): $\mu_4 = (\kappa + 3)\sigma^4$

$= {1\over{n}}(\kappa \sigma^4 + {{n-1}\over{n-1}}3\sigma^4 -{{n-3}\over{n-1}}\sigma^4) = \sigma^4\left({\kappa \over{n}}+{3(n-1)-(n-3)\over{n(n-1)}}\right) = \sigma^4\left({\kappa\over{n}} + {{2}\over{n-1}}\right)$

— jbowman
source

(+1) Près de 40 ans depuis la dernière édition, MGB est toujours la meilleure introduction débutante / intermédiaire à la statistique mathématique. C'est dommage qu'il soit épuisé dans le monde occidental depuis si longtemps.

— cardinal

J'ai trouvé un pdf de MGD , mais il n'y a aucune citation à la preuve originale. Ce qui est bien, mais ce serait bien de savoir où le trouver.

— Abe

La dérivation réelle du résultat n'est pas en MGB, mais plutôt nous relégué au problème 5 (b) à la page 266.

— cardinal

Oui, toutes les déclarations ne sont pas accompagnées de preuves, mais au moins celle-ci est dans le texte, pas reléguée à une question, et il y a un aperçu de l'approche de la preuve à la p. 230.

— jbowman

@Abe: Vous ne trouverez certainement pas de référence "originale" pour cela. Ce n'est pas le genre de résultat "publiable" autonome que l'on trouve dans les revues universitaires. Il s'agit simplement d'un calcul (plutôt fastidieux) découlant des propriétés de base de l'attente mathématique. Citer un manuel comme MGB est parfaitement raisonnable et acceptable.

— cardinal

On ne sait pas si cela répondra à vos besoins de référence définitive, mais cette question revient dans les exercices de Casella et Berger:

(page 364, exercice 7.45 b):

entrez la description de l'image ici

En référence à l'exercice 5b qui fournit une autre variante, dans laquelle et sont les deuxième et quatrième moments ( et ), respectivement: $\Theta_2$ $\Theta_4$ $\sigma^2$ $\kappa$

entrez la description de l'image ici

Celles-ci sont équivalentes à l'équation donnée dans une réponse sur math.SE :

$\mbox{Var}(S^2)={\mu_4\over n}-{\sigma^4\,(n-3)\over n\,(n-1)}$

— David LeBauer
source

Il est intéressant que votre lien et mon lien (dans les commentaires de l'OP) soient différents, mais pointent vers le même endroit.

— cardinal

@cardinal - Je viens de copier-collé de l'OP - mais les derniers chiffres sont l'ID utilisateur de la personne qui copie le lien, par exemple , mon lien serait math.stackexchange.com/a/73080/3733

— David LeBauer

Ah! (+1) Je n'ai pas remarqué que la dernière partie du lien était son propre identifiant! Merci d'avoir fait remarquer cela. Nous sommes suivis ...

— Cardinal

il est bon d'avoir une référence digne de confiance, mais ce serait quand même bien de retrouver l'original. +1 pour avoir parcouru les exercices.

— Abe

@cardinal une justification / utilisation du suivi est les badges pour le partage de liens (annonceur, booster, publiciste)

— David LeBauer