«Variable aléatoire absolument continue» vs «Variable aléatoire continue»?

Dans le livre "Limit Theorems of Probability Theory" de Valentin V. Petrov, j'ai vu une distinction entre les définitions d'une distribution "continue" et "absolument continue", qui est énoncée comme suit:

$(*)$ "... La distribution de la variable aléatoire$X$ est dite continue si$P\left(X \in B\right)=0$ pour tout ensemble fini ou dénombrable$B$de points de la droite. Elle est dite absolument continue si$P\left(X \in B\right)=0$ pour tous les ensembles de Borel$B$ de Lebesgue mesure zéro ... "

Le concept que je connais est le suivant:

$(\#)$ "Si une variable aléatoire a une fonction de distribution cumulative continue, alors elle est absolument continue."

$\textbf{My questions are:}$ les deux descriptions de la "continuité absolue" dans$(*)$ et$(\#)$ parlent-elles de la même chose? Si oui, comment traduire une explication dans l'autre?

Je vous remercie!

Les descriptions diffèrent: seule la première $(*)$ est correcte. Cette réponse explique comment et pourquoi.

Distributions continues

Une distribution "continue" $F$ est continue au sens habituel d'une fonction continue . Une définition (généralement la première que les gens rencontrent dans leur éducation) est que pour chaque $x$ et pour tout nombre $\epsilon\gt 0$ il existe un $\delta$ (en fonction de $x$ et $\epsilon$ ) pour lequel les valeurs de $F$ sur le $\delta$ voisinage de $x$ varient par pas plus de $\epsilon$ de $F(x)$ .

C'est un court pas de là pour démontrer que lorsqu'un $F$ continu est la distribution d'une variable aléatoire $X$ , alors $\Pr(X=x)=0$ pour tout nombre $x$ . Après tout, la définition de continuité implique que vous pouvez rétrécir $\delta$ pour rendre $\Pr(X\in (x-\delta, x+\delta))$ aussi petit que n'importe quel et puisque (1) cette probabilité n'est pas inférieure à et (2)$\epsilon \gt 0$$\Pr(X=x)$$\epsilon$peut être arbitrairement petit, il s'ensuit que $\Pr(X=x)=0$ . L'additivité dénombrable de la probabilité étend ce résultat à tout ensemble $B$ fini ou dénombrable .

Distributions absolument continues

Toutes les fonctions de distribution $F$ définissent des mesures finies positives $\mu_F$ déterminées par

La continuité absolue est un concept de théorie de la mesure. Une mesure $\mu_F$ est absolument continue par rapport à une autre mesure $\lambda$ (toutes deux définies sur la même algèbre sigma) lorsque, pour chaque ensemble mesurable $E$ , $\lambda(E)=0$ implique $\mu_F(E)=0$ . En d'autres termes, par rapport à $\lambda$ , il n'y a pas de "petits" ensembles (mesure zéro) auxquels $\mu_F$ attribue une probabilité "grande" (non nulle).

Nous prendrons $\lambda$ comme la mesure de Lebesgue habituelle, pour laquelle $\lambda((a,b]) = b-a$ est la longueur d'un intervalle. La seconde moitié de $(*)$ indique que la mesure de probabilité $\mu_F(B)=\Pr(X\in B)$ est absolument continu par rapport à la mesure de Lebesgue.

La continuité absolue est liée à la différentiabilité. La dérivée d'une mesure par rapport à une autre (à un moment donné $x$ ) est un concept intuitif: prendre un ensemble de quartiers mesurables de $x$ qui se réduisent à $x$ et comparer les deux mesures dans ces quartiers. S'ils s'approchent toujours de la même limite, quelle que soit la séquence de voisinage choisie, cette limite est la dérivée. (Il y a un problème technique: vous devez contraindre ces quartiers afin qu'ils n'aient pas de formes "pathologiques". Cela peut être fait en exigeant que chaque quartier occupe une partie non négligeable de la région dans laquelle il se trouve.)

La différenciation dans ce sens est précisément la question à laquelle est la définition de la probabilité sur une distribution continue? s'adresse.

Écrivons $D_\lambda(\mu_F)$ pour la dérivée de $\mu_F$ par rapport à $\lambda$ . Le théorème pertinent - c'est une version théorique des mesures du théorème fondamental du calcul - assert

$\mu_F$ est absolument continue par rapport à$\lambda$ si et seulement si

$$\mu_F(E) = \int_E \left(D_\lambda \mu_F\right)(x)\,\mathrm{d}\lambda$$ pour chaque ensemble mesurable$E$ . [Rudin, Théorème 8.6]

En d'autres termes, la continuité absolue (de $\mu_F$ par rapport à $\lambda$ ) équivaut à l'existence d'une fonction de densité $D_\lambda(\mu_F)$ .

Résumé

1. Une distribution $F$ est continue lorsque $F$ est continue en fonction: intuitivement, elle n'a pas de "sauts".

2. Une distribution $F$ est absolument continue lorsqu'elle a une fonction de densité (par rapport à la mesure de Lebesgue).

Le fait que les deux types de continuité ne soient pas équivalents est démontré par des exemples, tels que celui décrit sur https://stats.stackexchange.com/a/229561/919 . C'est la fameuse fonction Cantor . Pour cette fonction, $F$ est presque partout horizontal (comme son graphique le montre clairement), d'où $D_\lambda(\mu_F)$ est presque partout nul, et donc $\int_{\mathbb{R}} D_\lambda(\mu_F)(x)d\lambda = \int_{\mathbb{R}}0 d\lambda = 0$. Cela ne donne évidemment pas la valeur correcte de $1$ (selon l'axiome de probabilité totale).

commentaires

Pratiquement toutes les distributions utilisées dans les applications statistiques sont absolument continues, nulle part continues (discrètes), ou leurs mélanges, de sorte que la distinction entre continuité et continuité absolue est souvent ignorée. Cependant, ne pas apprécier cette distinction peut conduire à un raisonnement confus et à une mauvaise intuition, en particulier dans les cas où la rigueur est la plus nécessaire: à savoir, lorsqu'une situation est déroutante ou non intuitive, nous nous appuyons donc sur les mathématiques pour nous amener à corriger les résultats. C'est pourquoi nous ne faisons généralement pas beaucoup de choses dans la pratique, mais tout le monde devrait le savoir.

Référence

Rudin, Walter. Analyse réelle et complexe . McGraw-Hill, 1974: sections 6.2 (continuité absolue) et 8.1 (dérivés des mesures).