Demander la vérification d'un résultat matriciel simple


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Supposons que est un vecteur de variables aléatoires. Veuillez ensuite vérifier que .Xk×1EX(EXX)1EX1

Lorsque c'est un résultat bien connu que . Mais comment le revendiquer en général?K=1(EX)2EX2

Réponses:


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Laissez et . Ensuite, nous devons montrer μ=EXΣ=E(XXT)μμT

μT(Σ+μμT)1μ1.

Soit de telle sorte que . En utilisant le lemme déterminant de la matrice et l'existence de nous pouvons voir que existe exactement quand . Si nous avons terminé, donc WLOG nous supposons .C=E(XXT)Σ=CμμTC1Σ1μTC1μ1μTC1μ=1μTC1μ1

Ensuite, par la formule de Sherman-Morrison , nous avons puisque est PSD donc .

μT(Σ+μμT)1μ=μTΣ1μμT(Σ1μμTΣ11+μTΣ1μ)μ=cc21+c=c1+c<1
Σ1c0
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