La distribution de Poisson est-elle stable et existe-t-il des formules d'inversion pour le MGF?

Tout d'abord, j'ai une question à savoir si la distribution de Poisson est "stable" ou non. Très naïvement (et je ne suis pas trop sûr des distributions "stables"), j'ai élaboré la distribution d'une combinaison linéaire de RV distribués par Poisson, en utilisant le produit du MGF. Il semble que j'obtienne un autre Poisson, avec un paramètre égal à la combinaison linéaire des paramètres des RV individuels. Je conclus donc que Poisson est "stable". Qu'est-ce que je rate?

Deuxièmement, existe-t-il des formules d'inversion pour le MGF comme pour la fonction caractéristique?

distributions poisson-distribution mgf

— Franc
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Il est fermé sous des sommes (indépendantes) , mais pas de combinaisons linéaires arbitraires. Si vous incluez votre travail, je suppose que vous finirez par voir pourquoi dans le processus; et sinon, quelqu'un pourra le signaler. Oui, il existe des analogues d'inversion à celui des fonctions caractéristiques. Que savez-vous de la transformation de Laplace et de l'intégration des contours de Bromwich?

— cardinal

OK, je reviens à la planche à dessin. J'ai la MGF du i-ème Poisson comme: exp (lambda_i (exp (t) - 1)). Le produit de n Poisson MGF me donne donc: exp (sum (i, 0, n) alpha_i * lambda_i * (exp (t) - 1)) et je prends le nouveau lambda = sum (i, 0, n) alpha_i * lambda_i. Maintenant, j'ai peur de paraître stupide pour avoir commis une erreur évidente. - Je connais la transformation de Laplace et l'intégration de contour en général, mais pas l'intégration de contour de Bromwish. - Recommanderiez-vous de travailler avec les FC plutôt qu'avec les MGF en général? Cela semble plus puissant.

— Frank

Quel est le dans votre commentaire? En outre, entourez votre math-LaTeX de signes dollar pour le faire fonctionner (en utilisant \ exp pour que "exp" apparaisse correctement et \ lambda pour faire un , \ sum pour , etc.)

α_{i}

$\alpha_i$

λ

$\lambda$

\sum

$\sum$

— jbowman

Oui, je ne suis pas très bon à LaTex, mais voilà. Ainsi, ma combinaison linéaire de RV est: , et le produit de leurs MGF est: , si je ne me trompe pas, si les VR sont distribués comme . J'avais utilisé le même t pour tous les véhicules récréatifs, mais je dois utiliser .

\sum_{i = 0}^{n} α_{i} X_{i}

$\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} X_{i}$

\exp (\sum_{i = 0}^{n} α_{i} λ_{i} (\exp (t_{i}) - 1))

$\exp(\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} \lambda_{i} (\exp(t_{i}) - 1))$

P o i s s o n (λ_{i})

$Poisson(\lambda_{i})$

t_{i}

$t_{i}$

— Frank

L'erreur est que la MGF de est et non

a_{i} X_{i}

$a_iX_i$

e x p (λ_{i} (e x p (a_{i} t) - 1))

$exp(\lambda_i (exp(a_i t)-1))$

e x p (a_{i} λ_{i} (e x p (t) - 1))

$exp(a_i\lambda_i (exp(t)-1))$

— gui11aume

Réponses:

Combinaisons linéaires de variables aléatoires de Poisson

Comme vous l'avez calculé, la fonction génératrice de moment de la distribution de Poisson avec le taux est $\lambda$

m_{X} (t) = E e^{t X} = e^{λ (e^{t} - 1)} .

$m_X(t) = \mathbb E e^{t X} = e^{\lambda (e^t - 1)} \>.$

Maintenant, concentrons -nous sur une combinaison linéaire de variables aléatoires indépendantes de Poisson et . Soit . Alors, $X$ $Y$ $Z = a X + b Y$

m_{Z} (t) = E e^{t Z} = E e^{t (a X + b Y)} = E e^{t (a X)} E e^{t (b Y)} = m_{X} (a t) m_{Y} (b t) .

$m_Z(t) = \mathbb Ee^{tZ} = \mathbb E e^{t (a X + b Y)} = \mathbb E e^{t(aX)} \mathbb E e^{t (bY)} = m_X(at) m_Y(bt) \>.$

Donc, si a un taux et a un taux , nous obtenons et cela ne peut généralement pas être écrit sous la forme pour certains moins . $X$ $\lambda_x$ $Y$ $\lambda_y$

m_{Z} (t) = \exp (λ_{x} (e^{a t} - 1)) \exp (λ_{y} (e^{b t} - 1)) = \exp (λ_{x} e^{a t} + λ_{y} e^{b t} - (λ_{x} + λ_{y})),

$m_Z(t) = \exp({\lambda_x (e^{at} - 1)}) \exp({\lambda_y (e^{bt} - 1)}) = \exp(\lambda_x e^{at} + \lambda_y e^{bt} - (\lambda_x + \lambda_y))\>,$

\exp (λ (e^{t} - 1))

$\exp(\lambda(e^t - 1))$

λ

$\lambda$

a = b = 1

$a = b = 1$

Inversion de fonctions génératrices de moments

Si la fonction de génération de moment existe dans un voisinage de zéro, alors elle existe également en tant que fonction à valeur complexe dans une bande infinie autour de zéro. Cela permet à l'inversion par intégration de contour de jouer dans de nombreux cas. En effet, la transformée de Laplace d'une variable aléatoire non négative est un outil courant en théorie des processus stochastiques, notamment pour l'analyse des temps d'arrêt. Notez que pour les valeurs réelles . Vous devez prouver comme exercice que la transformée de Laplace existe toujours pour pour les variables aléatoires non négatives. $\mathcal L(s) = \mathbb E e^{-s T}$ $T$ $\mathcal L(s) = m_T(-s)$ $s$ $s \geq 0$

L'inversion peut ensuite être effectuée soit via l' intégrale de Bromwich ou la formule de post-inversion . Une interprétation probabiliste de ce dernier peut être trouvée comme un exercice dans plusieurs textes de probabilité classiques.

Bien que n'étant pas directement lié, vous pouvez également être intéressé par la note suivante.

JH Curtiss (1942), Une note sur la théorie des fonctions génératrices de moments , Ann. Math. Stat. , vol. 13, non. 4, p. 430-433.

La théorie associée est plus couramment développée pour les fonctions caractéristiques car elles sont entièrement générales: elles existent pour toutes les distributions sans support ni restrictions de moment.

— cardinal
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(+1) La formule d'inversion est-elle purement théorique ou est-elle réellement utilisée dans certains cas?

— gui11aume

@ gui11aume: Il est utilisé par endroits; mais, les exemples que vous trouverez généralement dans un texte sont généralement précisément les exemples pour lesquels vous n'en avez pas besoin. :)

— cardinal

Donc, il est vraisemblable qu'il est plus facile de travailler avec les FC qu'avec les MGF? Les MGF n'existent pas toujours, non? Pourquoi s'embêter avec eux?

— Frank

@Frank: pédagogiquement, ils sont plus faciles à présenter aux étudiants qui connaissent le calcul, mais qui ont peu ou pas de connaissances en variables complexes. Lorsqu'elles existent, elles ont des propriétés tout à fait analogues à celles des CF. Ils jouent un rôle important dans certaines parties de la théorie des probabilités et des statistiques théoriques, par exemple, les écarts importants et l'inclinaison exponentielle.

— cardinal

@Frank: Ce sont les distributions stables de Levy et la seule avec un MGF est la distribution normale. En effet, les FC sont l' outil pour ce problème; la forme possible du CF est connue pour toutes ces distributions, mais les pdfs correspondants de forme fermée ne sont connus que dans une poignée d'exemples.

α

$\alpha$

— cardinal

Les distributions de Poisson sont stables par somme. Ils ne sont trivialement pas stables par combinaison linéaire car vous pouvez vous retrouver avec des valeurs non entières. Par exemple, si est Poisson, n'est pas trivialement Poisson. $X$ $X/2$

Je ne suis pas au courant des formules d'inversion pour MGF (mais @cardinal semble l'être).

— gui11aume
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(+1) Parce que j'aime les preuves illustratives simples et les contre-exemples qui mettent immédiatement en avant le cœur du sujet.

— cardinal

J'ai une question sur la terminologie. Dans les statistiques, j'ai étudié les distributions stables qui étaient des limites de distributions satisfaisant à une condition de convergence appelée loi stable. Ce sont des distributions non normales continues. Il s'agit d'une distribution pour les limites d'un Z moyen normalisé, mais le théorème de la limite centrale ne s'applique pas à Z en raison du comportement de queue de la distribution de la population. En fait, le théorème limite central peut appartenir aux lois stables si un certain paramètre alpha = 2.

— Michael R. Chernick

Ce que vous appelez stable ici est plus proche sous des sommes qui me semblent plus comme le terme infiniment divisible. Dans quels domaines le terme stable est-il utilisé pour cela? Devient-il utilisé dans les probabilités et les statistiques?

— Michael R. Chernick

(+1) Selon Wikipédia, les distributions "stables" sont telles que a la même distribution que , ce qui n'est pas le cas du Poisson. Je suppose que le seul terme approprié (corrigez-moi si je me trompe) serait "La famille Poisson est stable par somme". En général, cela ne signifie pas que la distribution est divisible à l'infini (pensez au binôme), mais le Poisson a justement cette propriété.

a X_{1} + b X_{2}

$aX_1 + bX_2$

c X + d

$cX + d$

— gui11aume