Quelle est la définition d'une distribution symétrique?

Quelle est la définition d'une distribution symétrique? Quelqu'un m'a dit qu'une variable aléatoire $X$ provenait d'une distribution symétrique si et seulement si $X$ et $-X$ la même distribution. Mais je pense que cette définition est en partie vraie. Parce que je peux présenter un contre-exemple $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ et $\mu\neq0$ . Évidemment, il a une distribution symétrique, mais $X$ et ont une distribution différente! Ai-je raison? Avez-vous déjà pensé à cette question? Quelle est la définition exacte de la distribution symétrique? $-X$

distributions definition symmetry

— shijing SI
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Lorsque vous dites qu'une "distribution est symétrique", vous devez spécifier par rapport à quel point est symétrique. Dans le cas de la distribution normale que vous présentez, la symétrie est donnée autour de

μ

$\mu$ . Dans ce cas,

X - μ

$X-\mu$ et

- (X - μ)

$-(X-\mu)$ ont la même distribution. En termes de densité, cela peut s'exprimer comme

f

$f$ est symétrique par rapport à

μ

$\mu$ si

f (μ - x) = f (μ + x)

$f(\mu-x)=f(\mu+x)$ . BTW, c'est de bonnes manières d'accepter les réponses lorsque vous êtes satisfait de l'une d'entre elles.

Oui, nous avons pensé à cette question. Symétrique signifie généralement symétrique par rapport à

et, pour prévenir d'autres contre-exemples, l'affirmation selon laquelle les distributions sont symétriques n'est pas quelque chose de vrai concernant la fonction de distribution de probabilité cumulative . Votre "contre-exemple" a une symétrie par rapport au point

, pas par rapport au point

0

$0$

μ \neq 0

$\mu \neq 0$

0

$0$

— Dilip Sarwate

@Dilip Lorsqu'une définition dépend d' une façon de décrire quelque chose, mais cette définition peut être démontré être une propriété intrinsèque de cette chose, il n'a pas de sens d'appliquer la définition à une autre forme de description. Dans ce cas, la symétrie est une propriété d'une distribution , mais cela n'implique pas que toutes les descriptions de cette distribution (y compris le PDF et le CDF) doivent être "symétriques" de la même manière. En appliquant la symétrie du PDF au CDF, votre commentaire confond la question plutôt que de la clarifier.

— whuber

Shijing, @Procrastinator a observé que vous avez posé de nombreuses questions sans accepter de réponses. Cela suggère que vous ne connaissez peut-être pas le fonctionnement de ce site. Pour dissiper tout malentendu, veuillez lire la partie pertinente de notre FAQ tout au long ? Cela ne prendra que quelques minutes et en suivant ses conseils, vous améliorerez la valeur de notre site.

— whuber

@whuber Le CDF est l'une des rares descriptions dans lesquelles la distribution de mots se produit réellement dans le nom, et j'essayais de clarifier que la propriété de symétrie ne valait pas pour le CDF.

— Dilip Sarwate

Réponses:

En bref: est symétrique lorsque et ont la même distribution pour un certain nombre réel . $X$ $X$ $2a-X$ $a$ Mais arriver à cela de manière pleinement justifiée nécessite quelques digressions et généralisations, car cela soulève de nombreuses questions implicites: pourquoi cette définition de «symétrique»? Peut-il y avoir d'autres types de symétries? Quelle est la relation entre une distribution et ses symétries, et inversement, quelle est la relation entre une "symétrie" et les distributions qui pourraient avoir cette symétrie?

Les symétries en question sont des reflets de la ligne réelle. Tous sont de la forme

x \to 2 a - x

$x \to 2a-x$

pour une constante . $a$

Supposons donc que ait cette symétrie pour au moins un . Ensuite, la symétrie implique $X$ $a$

Pr [X \geq a] = Pr [2 a - X \geq a] = Pr [X \leq a]

$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$

montrant que est une médiane de . De même, si a une attente, il s'ensuit immédiatement que . Ainsi, nous pouvons généralement identifier facilement . Même si ce n'est pas le cas, (et donc la symétrie elle-même) est toujours déterminée de manière unique (si elle existe). $a$ $X$ $X$ $a = E[X]$ $a$ $a$

Pour voir cela, soit tout centre de symétrie. En appliquant ensuite les deux symétries, nous voyons que est invariant sous la translation . Si , la distribution de doit avoir une période de , ce qui est impossible car la probabilité totale d'une distribution périodique est soit soit infinie. Ainsi , montrant que est unique. $b$ $X$ $x \to x + 2(b-a)$ $b-a \ne 0$ $X$ $b-a$ $0$ $b-a=0$ $a$

Plus généralement, lorsque est un groupe agissant fidèlement sur la ligne réelle (et par extension sur tous ses sous-ensembles Borel), on pourrait dire qu'une distribution est "symétrique" (par rapport à ) lorsque $G$ $X$ $G$

Pr [X \in E] = Pr [X \in E^{g}]

$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$

pour tous les ensembles mesurables et les éléments , où désigne l'image de sous l'action de . $E$ $g \in G$ $E^g$ $E$ $g$

Par exemple, soit toujours un groupe d'ordre , mais maintenant son action consiste à prendre l'inverse d'un nombre réel (et à fixer ). La distribution lognormale standard est symétrique par rapport à ce groupe. Cet exemple peut être compris comme un exemple de symétrie de réflexion où une ré-expression non linéaire des coordonnées a eu lieu. Cela suggère de se concentrer sur les transformations qui respectent la "structure" de la ligne réelle. La structure essentielle à la probabilité doit être liée aux ensembles de Borel et à la mesure de Lebesgue, qui peuvent tous deux être définis en termes de distance (euclidienne) entre deux points. $G$ $2$ $0$

Une carte préservant la distance est, par définition, une isométrie. Il est bien connu (et facile, quoique un peu compliqué, de le démontrer) que toutes les isométries de la ligne réelle sont générées par des réflexions. D'où, lorsqu'on comprend que "symétrique" signifie symétrique par rapport à un groupe d'isométries , le groupe doit être généré par au plus une réflexion et nous avons vu que la réflexion est uniquement déterminée par toute distribution symétrique par rapport à elle. En ce sens, l'analyse précédente est exhaustive et justifie la terminologie habituelle des distributions "symétriques".

Soit dit en passant, une multitude d' exemples multivariés de distributions invariantes sous des groupes d'isométries est fourni en considérant les distributions "sphériques". Celles-ci sont invariantes sous toutes les rotations (par rapport à un centre fixe). Celles-ci généralisent le cas unidimensionnel: les "rotations" de la ligne réelle ne sont que les réflexions.

Enfin, il convient de souligner qu'une construction standard - faisant la moyenne sur le groupe - permet de produire des charges de distributions symétriques. Dans le cas de la droite réelle, soit généré par la réflexion autour d'un point , de sorte qu'il soit constitué de l'élément d'identité et de cette réflexion, . Laissez soit une distribution. Définissez la distribution en définissant $G$ $a$ $e$ $g$ $X$ $Y$

{Pr}_{Y} [E] = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} {Pr}_{X} [E^{g}] = ({Pr}_{X} [E] + {Pr}_{X} [E^{g}]) / 2

${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$

pour tous les ensembles Borel . C'est manifestement symétrique et il est facile de vérifier qu'elle reste une distribution (toutes les probabilités restent non négatives et la probabilité totale est ). $E$ $1$

Gamma

Illustrant le processus de moyenne de groupe, le PDF d'une distribution gamma symétrisée (centrée sur ) est représenté en or. Le Gamma d'origine est en bleu et son reflet est en rouge. $a=2$

— whuber
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(+1) Je voudrais ajouter que, dans le cadre multivarié, la définition de la symétrie n'est pas unique. Dans ce livre, il existe 8 définitions possibles des distributions multivariées symétriques.

@Procrastinator Je suis curieux de savoir ce que vous pourriez dire par "pas unique". AFAIK, tout ce qui justifie le nom de "symétrie" se réfère finalement à une action de groupe sur un espace. Il serait intéressant de voir quels types d'actions les statisticiens ont jugés utiles. Parce que ce livre est épuisé et n'est pas disponible sur le Web, pourriez-vous donner un exemple rapide de deux types de symétrie vraiment différents considérés dans ce livre?

— whuber

Votre intuition est correcte, elle est liée aux caractéristiques statistiques: symétrie centrale

; Spherical symétrie

pour l' ensemble matrice orthogonale

. Je ne me souviens pas du reste, mais je vais essayer d'emprunter le livre ces jours-ci. Dans ce lien, vous pouvez en trouver.

X - μ \overset{d}{=} - (X - μ)

${\bf X}-\mu\stackrel{d}{=}-({\bf X}-\mu)$

X - μ \overset{d}{=} O (X - μ)

$X-\mu\stackrel{d}{=}{\bf O}({\bf X}-\mu)$

O

${\bf O}$

@Procrastinator Merci. Notez que les deux exemples que vous proposez sont tous deux des cas particuliers de la définition générale que j'ai fournie: la symétrie centrale génère un groupe d'isométries à deux éléments et les symétries sphériques sont également un sous-groupe de toutes les isométries. La "symétrie elliptique" dans le lien est une symétrie sphérique après une transformation affine, et illustre ainsi le phénomène que j'ai signalé avec l'exemple lognormal. Les "symétries angulaires" forment à nouveau un groupe d'isométries. La "symétrie demi-espace" [sic] n'est pas une symétrie, mais permet des départs discrets de celle-ci: c'est nouveau.

— whuber

La réponse dépendra de ce que vous entendez par symétrie. En physique, la notion de symétrie est fondamentale et est devenue très générale. La symétrie est toute opération qui laisse le système inchangé. Dans le cas d'une distribution de probabilité, cela pourrait être traduit en toute opération qui renvoie la même probabilité . $X \to X'$ $P(X) = P(X')$

Dans le cas simple du premier exemple, vous faites référence à la symétrie de réflexion sur le maximum. Si la distribution était sinusoïdale, vous pourriez avoir la condition , où est la longueur d'onde ou la période. Alors et correspondrait toujours à une définition plus générale de la symétrie. $X \to X + \lambda$ $\lambda$ $P(X) = P(X + \lambda)$

— Michael Hoffman
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