Comment prouver si la moyenne d'une fonction de densité de probabilité existe

Il est bien connu qu’étant donné une variable aléatoire de valeur réelle $X$ avec pdf $f$ , la moyenne de $X$ (s'il existe) est trouvé par

E [X] = \int_{R} X F (X) ré X .

$\begin{equation} \mathbb{E}[X]=\int_{\mathbb{R}}x\,f(x)\,\mathrm{d}x\,. \end{equation}$

Question générale: maintenant, si l'on ne peut pas résoudre l'intégrale ci-dessus sous forme fermée, mais veut simplement déterminer si la moyenne existe et est finie, existe-t-il un moyen de le prouver? Existe-t-il (peut-être) un test que je peux appliquer à l'intégrande pour déterminer si certains critères sont remplis pour que la moyenne existe?

Question spécifique à l'application: J'ai le pdf suivant pour lequel je veux déterminer si la moyenne existe:

F (X) = \frac{| σ_{2}^{2} μ_{1} X + μ_{2} σ_{1}^{2} |}{σ_{1}^{3} σ_{2}^{3} {une}^{3} (X)} ϕ (\frac{μ_{2} X - μ_{1}}{σ_{1} σ_{2} une (X)}) pour X \in R,

$\begin{equation} f(x)=\frac{|\sigma_{2}^{2}\mu_{1}x+\mu_{2}\sigma_{1}^{2}|}{\sigma_{1}^{3}\sigma_{2}^{3}a^{3}(x)}\,\phi\left(\frac{\mu_{2}x-\mu_{1}}{\sigma_{1}\sigma_{2}a(x)}\right)\qquad \text{for}\ x\in\mathbb{R}\,, \end{equation}$

où $\mu_{1},\mu_{2}\in\mathbb{R}$ , $\sigma_{1},\sigma_{2}>0$ , $a(x)=\left(\frac{x^{2}}{\sigma_{1}^{2}}+\frac{1}{\sigma_{2}^{2}}\right)^{1/2}$ , et $\phi(g(x))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-g^{2}(x)/2}$ .

J'ai essayé de résoudre le problème en vain.

distributions mathematical-statistics expected-value

— Aaron Hendrickson
source

dans votre question spécifique

f (x)

$f(x)$ n'est pas une fonction de densité appropriée. supposer

μ_{1} = 1

$\mu_1 =1$ ,

μ_{2} = 0

$\mu_2=0$ et

σ_{j} = 1

$\sigma_j = 1$ ,

j = 1, 2

$j=1,2$ , puis

f (x) < 0

$f(x)<0$ pour

x < 0

$x<0$ .

— EliKa

@EliKa Bonne trouvaille. Il peut y avoir une faute de frappe. Je vais vérifier et corriger la question. Cela dit, je suis toujours principalement intéressé par la partie «comment» de la question, c'est-à-dire comment pourrais-je déterminer si la moyenne existe et est finie?

— Aaron Hendrickson

Vous pourriez essayer de délimiter

| x f (x) |

$\lvert x f(x) \rvert$ au-dessus et en dessous par quelques fonctions non négatives

u (x)

$u(x)$ et

b (x)

$b(x)$ de telle sorte que vous puissiez les intégrer. Si vous pouvez intégrer

u (x)

$u(x)$ , alors votre distribution a une moyenne. Si

\int b (x) d x = \infty

$\int b(x)dx = \infty$ , votre distribution n'a aucun moyen.

— Ceph

@Ceph C'est une bonne suggestion. Cette technique est-elle basée sur le "théorème de compression"?

— Aaron Hendrickson

@AaronHendrickson Idée similaire, mais (si je comprends bien) le théorème de compression est un peu différent. L'utilisation de la ST ici pourrait ressembler à ceci: vous trouvez

u (x)

$u(x)$ et

b (x)

$b(x)$ cette limite

x f (x)

$xf(x)$ (plutôt que de délimiter

| x f (x) |

$\lvert x f(x) \rvert$ comme dans mon commentaire précédent) de sorte que vous pouvez trouver

\int u (x) d x = \int b (x) d x = μ

$\int u(x) dx = \int b(x) dx= \mu$ , où

μ

$\mu$ est la moyenne de votre distribution. Mais ce n'est probablement pas une stratégie plausible, car vous auriez du mal à trouver de telles

u

$u$ et

b

$b$ . (Ils peuvent différer de

x f (x)

$xf(x)$ que sur un ensemble de mesure 0 et ne serait donc probablement pas plus facile à intégrer que

x f (x)

$xf(x)$ est.)

— Ceph

Il n'y a pas de technique générale, mais il existe des principes simples. L'une consiste à étudier le comportement de la queue $f$ en le comparant à des fonctions exploitables.

Par définition, l'attente est la double limite (comme $y$ et $z$ varient indépendamment)

E_{y, z} [f] = lim_{y \to - \infty, z \to \infty} \int_{y}^{z} x f (x) d x = lim_{y \to - \infty} \int_{y}^{0} x f (x) d x + lim_{z \to \infty} \int_{0}^{z} x f (x) d x .

$E_{y,z}[f] = \lim_{y\to-\infty,z\to\infty}\int_y^z x f(x) dx = \lim_{y\to-\infty}\int_y^0 x f(x) dx+ \lim_{z\to\infty}\int_0^z x f(x) dx.$

Le traitement des deux intégrales à droite est le même, alors concentrons-nous sur le positif. Un comportement de $f$ qui assure une valeur limite est de la comparer à la puissance $x^{-p}$ . Supposer $p$ est un nombre pour lequel

\underset{x \to \infty}{lim inf} x^{p} f (x) > 0.

$\liminf_{x\to\infty} x^p f(x)\gt 0.$ Cela signifie qu'il existe un

ϵ > 0

$\epsilon\gt 0$ Et un

N > 1

$N\gt 1$ Pour qui

x^{p} f (x) \geq ϵ

$x^p f(x) \ge \epsilon$ n'importe quand

x \in [N, \infty)

$x\in[N,\infty)$ . Nous pouvons exploiter cette inégalité en rompant l'intégration dans les régions où

x < N

$x\lt N$ et

x \geq N

$x \ge N$ et l'appliquer dans la deuxième région:

\begin{aligned} \int_{0}^{z} x f (x) d x & = \int_{0}^{N} x f (x) d x + \int_{N}^{z} x f (x) d x \\ = \int_{0}^{N} x f (x) d x + \int_{N}^{z} x^{1 - p} (x^{p} f (x)) d x \\ \geq \int_{0}^{N} x f (x) d x + \int_{N}^{z} x^{1 - p} (ϵ) d x \\ = \int_{0}^{N} x f (x) d x + \frac{ϵ}{2 - p} (z^{2 - p} - N^{2 - p}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \int_0^z x f(x) dx &=\int_0^{N} x f(x) dx + \int_{N}^z x f(x) dx \\ &=\int_0^{N} x f(x) dx + \int_{N}^z x^{1-p} \left(x^p f(x)\right) dx \\ &\ge \int_0^{N} x f(x) dx + \int_{N}^z x^{1-p} \left(\epsilon\right) dx \\ &= \int_0^{N} x f(x) dx + \frac{\epsilon}{2-p}\left(z^{2-p} - {N}^{2-p}\right). }$

À condition de $p\lt 2$ , le côté droit diverge comme $z\to\infty$ . Quand $p=2$ l'intégrale s'évalue au logarithme,

\int_{N}^{z} x^{1 - 2} (ϵ) d x = ϵ (\log (z) - \log (N)),

$\int_{N}^z x^{1-2} \left(\epsilon\right) dx = \epsilon \left(\log(z) - \log(N)\right),$

qui diverge également.

Une analyse comparable montre que si $|x|^pf(x)\to 0$ pour $p\gt 2$ , puis $E[X]$ existe. De même, nous pouvons tester si un moment de $X$ existe: pour $\alpha\gt 0$ , l'attente de $|X|^\alpha$ existe quand $|x|^{p+\alpha}f(x)\to 0$ pour certains $p\gt 1$ et n'existe pas lorsque $\liminf |x|^{p+\alpha}f(x)\gt 0$ pour certains $p \le 1$ . Cela répond à la «question générale».

Appliquons cette idée à la question. Par inspection, il est clair que $a(x)\approx |x|/\sigma_1$ pour grand $|x|$ . En évaluant $f$ , nous pouvons donc supprimer tous les termes supplémentaires qui seront éventuellement submergés par $|x|$ . Ainsi, jusqu'à une constante non nulle, par $x\gt 0$

f (x) \approx \frac{μ_{1} x}{σ_{2} x^{3}} ϕ (\frac{μ_{2} x}{σ_{2} x}) = x^{- 2} \frac{μ_{1}}{σ_{2}} \exp ({(- \frac{μ_{2}}{2 σ_{2}})}^{2}) .

$f(x) \approx \frac{\mu_1 x}{\sigma_2 x^3}\phi\left(\frac{\mu_2 x}{\sigma_2 x}\right) = x^{-2}\frac{\mu_1}{\sigma_2}\exp\left(\left(-\frac{\mu_2}{2\sigma_2}\right)^2\right).$

Donc $x^2 f(x)$ s'approche d'une constante non nulle. Par le résultat précédent, l'attente diverge.

Depuis $2$ est la plus petite valeur de $p$ qui fonctionne dans cet argument-- $|x|^pf(x)$ ira à zéro comme $|x|\to\infty$ pour toute $p\lt 2$ - c'est clair (et une analyse plus détaillée des $f$ confirmera) que le taux de divergence est logarithmique. Autrement dit, pour les grands $|y|$ et $|z|$ , $E_{y,z}[f]$ peut être étroitement approché par une combinaison linéaire de $\log(|y|)$ et $\log(|z|)$ .

— whuber
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