Moments d'une distribution - toute utilisation pour des moments partiels ou supérieurs?

Il est habituel d'utiliser les deuxième, troisième et quatrième moments d'une distribution pour décrire certaines propriétés. Les moments partiels ou les moments supérieurs au quatrième décrivent-ils des propriétés utiles d'une distribution?

distributions moments partial-moments

— Eduardas
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Pas une réponse mais une chose à garder à l'esprit est que les moments d'ordre supérieur nécessitent beaucoup plus d'observations pour obtenir le premier sig-fig.

— isomorphismes

Un article qui utilise des moments partiels est stats.stackexchange.com/questions/94402/… . Les moments partiels ont donc une certaine utilité et pourraient probablement être utilisés davantage.

— kjetil b halvorsen

Réponses:

Mis à part les propriétés spéciales de quelques nombres (par exemple, 2), la seule vraie raison de distinguer les moments entiers par opposition aux moments fractionnaires est la commodité.

Des moments plus élevés peuvent être utilisés pour comprendre le comportement de la queue. Par exemple, une variable aléatoire centrée de variance 1 a des queues sous-gaussiennes (ie pour certaines constantes ) si et seulement if pour chaque et une constante . $X$ $\mathbb{P}(|X| > t) < C e^{-ct^2}$ $c,C > 0$ $\mathbb{E}|X|^p \le (A \sqrt{p})^p$ $p\ge 1$ $A > 0$

— Mark Meckes
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le résultat que vous indiquez pour les queues [sub] gaussiennes ne semble pas correct. selon la borne [

] vous citez, lanorme

d'une variable gaussienne centrée ne dépasserait pas [dans la limite] 1. mais lanorme

d'un rv tend vers son ess sup, qui est

pour une variable gaussienne.

A \sqrt{p}

$A\sqrt{p}$

p^{t h}

$p^{th}$

p^{t h}

$p^{th}$

+ \infty

$+\infty$

— ronaf du

Merci d'avoir attrapé ça. J'ai oublié l'exposant sur le RHS; c'est corrigé maintenant.

— Mark Meckes

pourriez-vous fournir une référence pour ce résultat?

— Gary

@Gary: malheureusement je ne connais pas de référence (publiée ou en ligne); cela fait partie du folklore de mon domaine, énoncé dans les cours mais écrit comme «simple et bien connu» dans les articles. Mais la preuve est simple. Étant donné l'estimation de la queue, l'estimation du moment découle de l'intégration par parties (c'est-à-dire

) et de la formule de Stirling. Étant donné l'estimation du moment, l'estimation de la queue suit en appliquant l'inégalité de Markov et en optimisant sur

E | X |^{p} = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (| X | > t) d t

$\mathbb{E} |X|^p = \int_0^\infty p t^{p-1} \mathbb{P}(|X| > t) dt$

p

$p$

— Mark Meckes

Je me méfie quand j'entends des gens poser des questions sur les troisième et quatrième moments. Il y a deux erreurs courantes que les gens ont souvent à l'esprit lorsqu'ils abordent le sujet. Je ne dis pas que vous faites nécessairement ces erreurs, mais elles reviennent souvent.

Tout d'abord, il semble qu'ils croient implicitement que les distributions peuvent se résumer à quatre nombres; ils soupçonnent que deux chiffres ne suffisent pas, mais trois ou quatre devraient suffire.

Deuxièmement, cela ressemble à une écoute de retour à l'approche de la correspondance des moments de la statistique qui a largement perdu les méthodes du maximum de vraisemblance dans les statistiques contemporaines.

Mise à jour: j'ai développé cette réponse dans un article de blog .

— John D. Cook
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Un exemple d'utilisation (l'interprétation est un meilleur qualificatif) d'un moment supérieur: le cinquième moment d'une distribution univariée mesure l'asymétrie de ses queues.

— user603
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Mais le troisième moment (central) ne le fait-il pas de manière plus stable et pratique?

— whuber

@Whuber:> le troisième mesure l'asymétrie globale, ce qui n'est pas la même chose que l'asymétrie de queue. En raison de l'exposant supérieur, la valeur du cinquième est presque entièrement déterminée par les queues.

— user603

@Kwak: Merci d'avoir clarifié votre sens. Bien sûr, la même réponse pourrait être appliquée à tout moment impair: ils mesurent l'asymétrie de plus en plus loin dans les queues.

— whuber

@Whuber:> Bien sûr. Notez que même pour une distribution équitable comme la gaussienne, au 7ème moment, vous comparez déjà le max au min.

— user603

@Kwak: Deux questions de suivi rapides; pas besoin de répondre si vous ne le souhaitez pas. (1) "Queue blonde" ?? (2) Quels sont les min et max d'une gaussienne?

— whuber