Décomposition de la distribution normale

Existe-t-il une distribution positive uniquement telle que la différence de deux échantillons indépendants de cette distribution soit normalement distribuée? Si oui, a-t-il une forme simple?

distributions probability

— Martin O'Leary
source

Question interessante! La distribution normale est infiniment décomposable, ce qui signifie que vous pouvez toujours l'écrire comme la distribution d'une somme

d'un nombre arbitraire

de variables aléatoires. Mais ce n'est pas la question.

x_{1} + \dots + x_{n}

$x_1+\ldots+x_n$

n

$n$

— Xi'an

Si vous arrivez à la fonction de génération de moment, la question est de savoir si

permet une solution (en

) qui est une fonction génératrice de moment d'une variable positive ...

e^{t μ + \frac{1}{2} σ^{2} t^{2}} = φ (t) φ (- t)

$e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}=\varphi(t)\varphi(-t)$

φ

$\varphi$

— Xi'an

Vous avez raison, @Dilip: une différence de demi-normales n'a pas de distribution normale. Le problème n'est pas avec la variance de la différence: la forme même de la distribution n'est pas normale (son kurtosis est trop grand).

— whuber

Bien que cela soit évident, il convient de noter que l'énoncé est approximativement correct. Après tout, la différence d'un

variable et un

variable a une

la distribution et, en choisissant

suffisamment grand, nous pouvons faire la chance que l'une ou l'autre variable soit négative aussi petite que souhaité.

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (0, σ^{2})

$N(0,\sigma^2)$

μ

$\mu$

— whuber

La réponse à la question est Non, et elle découle d'une célèbre caractérisation des distributions normales.

Supposons que et sont des variables aléatoires indépendantes. Il en va de même pour les variables aléatoires indépendantes et , et bien sûr, nous pouvons écrire comme , la somme de deux variables aléatoires indépendantes. Or, selon un théorème conjecturé par P. Lévy et prouvé par H. Cramér (voir Feller, Chapitre XV.8, Théorème 1), $X$ $Y$ $X$ $-Y$ $X-Y$ $X + (-Y)$

Si et sont des variables aléatoires indépendantes et que est normalement distribué, alors et sont normalement distribués. $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

$X$ $Y$ $X-Y$ $X-Y = X + (-Y)$ $X$ $-Y$

— Dilip Sarwate
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J'espérais un peu que la réponse serait oui, mais merci! Je n'ai pas facilement accès à une copie de Feller - est-il possible d'esquisser une preuve du théorème? Cela semble assez contre-intuitif.

— Martin O'Leary

Même Feller n'inclut pas la preuve originale affirmant qu'elle est basée sur la théorie de la fonction analytique et donc très différente de son approche des fonctions caractéristiques.

— Dilip Sarwate

J'ai pensé que c'était le cas mais cela ouvre la porte aux variables dépendantes. J'essayais de trouver un moyen de construire une dépendance entre 2 demi-normales positives, mais je ne pouvais pas vraiment le faire fonctionner.

— Michael R. Chernick

eh bien peut-être que quelqu'un devrait être plus intéressé à essayer de le résoudre

— Michael R. Chernick

Je vais en faire une question et vous pourrez ensuite préciser votre réponse. Je ne suis pas tout à fait à quoi ressemble cette densité articulaire et prenez-vous Z = | X | - | Y |?

— Michael R. Chernick