Ce problème peut être résolu en se décomposant en parties et en utilisant les propriétés d'un processus de Poisson .
Il aide à rappeler comment générer un processus d'intensité de point de Poisson sur un sous-ensemble borné de . Nous générons d'abord une variable aléatoire de Poisson avec le tauxoùdésigne la mesure de Lebesgue, et nous arrosons ces points de uniformément à l' intérieur aléatoire de .ρR2Nρ|A||⋅|NA
Cela nous dit tout de suite que, tant que , si l' on choisit deux points (sans remplacement) au hasard, ces deux points seront indépendants et répartis uniformément sur . Lorsque , nous devons faire quelque chose et un choix naturel est de définir la probabilité souhaitée comme nulle. Notez que cela se produit avec la probabilité
C'est la seule partie du problème qui dépend de l'intensité du processus de Poisson.N≥2AN<2
P(N<2)=(1+ρ|A|)e−ρ|A|.
Probabilité conditionnelle à{N≥2}
Nous nous intéressons à la probabilité
où , et . Ici et sont les rayons de deux de nos points uniformément distribués qui tombent dans .
p(A,B,r):=P(d21≤d22A(1+Bd22)),
A>0B>0A={x:∥x∥2≤r}d1d2A
Notez que pour un point distribué aléatoirement dans le disque de rayon , la distribution de la distance depuis l'origine est , à partir de laquelle nous pouvons voir que a la même distribution que où . À partir de cela, nous pouvons reformuler la probabilité d'intérêt comme
rP(D≤d)=(d/r)2D2r2UU∼U(0,1)
p(A,B,r)=P(U1≤U2A(1+Br2U2))=∬1(0<x<1)1(0<y<1)1(0<y<x/(A+ABr2x))dydx.
Cette intégrale se divise en deux cas. Pour le calculer, nous avons besoin de l'intégrale générale
∫t0xa+bxdx=1b(t−ablog(1+bt/a)).
Cas 1 : .A(1+Br2)≥1
On voit ici que pour , donc
u≤A(1+Br2u)u∈[0,1]
p(A,B,r)=1ABr2(1−log(1+Br2)Br2).
Cas 2 : .A(1+Br2)<1
Ici l'intégrale pour se divise en deux morceaux puisque sur . Par conséquent, nous intégrons jusqu'à utilisant l'intégrale générale, puis nous plaquons sur une zone d'addition de pour la deuxième pièce. Donc, nous obtenons
p(A,B,r)u≥A(1+Br2u)[A/(1−ABr2),1]t=A/(1−ABr2)1−A/(1−ABr2)
p(A,B,r)=1Br2(11−ABr2+log(1−ABr2)ABr2)+1−A1−ABr2=1+1Br2(1+log(1−ABr2)ABr2).
Souvent, une image aide; en voici un qui montre un exemple de la région d'intégration pour chaque cas. Notez que est sur l' axe et sur l' axe .U1yU2x

La probabilité finale d'intérêt est alors, bien sûr, .(1−(1+ρπr2)e−ρπr2)p(A,B,r)
Une généralisation facile
Nous pouvons facilement généraliser le résultat pour utiliser une balle de forme différente. En fait, pour toute norme arbitraire sur , la probabilité conditionnelle est invariante tant que nous utilisons la balle induite par la norme au lieu du cercle!R2p(A,B,r)
En effet, quelle que soit la norme que nous choisissons, le rayon carré est uniformément distribué. Pour voir pourquoi, soit une norme sur et la boule de rayon sous la norme . Notez que si et seulement si . La mise à l'échelle vers le haut ou vers le bas de la boule unitaire est une transformation linéaire et par un fait standard sur la mesure de Lebesgue, la mesure d'une transformation linéaire de est
puisqueδ(⋅)R2Bδ(r)={x:δ(x)≤r}rδrx∈Bδ(r)x∈Bδ(1)TBδ(1)
|Bδ(r)|=|TBδ(1)|=|det(T)||Bδ(1)|=r2|Bδ(1)|,
T(x)=rx=(rx1,rx2) dans ce cas.
Cela montre que si pour uniformément distribué dans , alors
Le lecteur aux yeux d'aigle notera que nous n'avons utilisé que l'homogénéité de la norme ici, et donc un résultat similaire se maintiendra en général pour des distributions uniformes sur des classes d'ensembles fermées sous une transformation homogène.D=δ(X)XBδ(r)
P(D≤d)=|Bδ(d)||Bδ(r)|=(d/r)2.
Voici une image avec deux points sélectionnés. Les normes présentées sont la norme euclidienne, la norme norme et la norme pour . Chaque boule unitaire est entourée de noir, et la plus grosse balle dans laquelle se trouvent les deux points sélectionnés au hasard est dessinée dans la couleur correspondante.ℓ1supℓpp=5
La probabilité conditionnelle est la même pour chaque image lorsque la distance est mesurée en utilisant la norme correspondante.p(A,B,r)
