Pourquoi, dans les carrés latins, les lignes, les traitements et les colonnes sont orthogonaux

J'ai toujours entendu "orthogonal" dans le domaine de la géométrie (veuillez également noter que je ne suis pas natif anglophone). Je ne comprends pas ce qui suit pour les carrés latins (une citation d'un livre de texte):

Chaque traitement (ABCD) apparaît une fois dans chaque ligne. Les traitements et les rangées sont donc orthogonaux. ... Les lignes et les colonnes sont orthogonales aux traitements.

$$\begin{matrix}\,&1&2&3&4\\1&A&B&C&D\\2&B&C&D&A\\3&C&D&A&B\\4&D&A&B&C\end{matrix}$$

Qu'entend-on par orthogonalité ici?

ce que cela signifie ou ce que fait le carré latin

$i$$j$$k$

Voir la formule (pour un modèle sans effets croisés)

$Y_{ijk} = \alpha + c_i + r_j + \beta_k + \epsilon_{ijk}$

$k$

$E(Y_{ijk} \vert k) = \alpha + \beta_k$

à condition que le traitement ne soit pas corrélé (orthogonal à) avec les lignes et les colonnes.

le traitement pour A (et de même pour B, C et D) est testé le même nombre de fois dans chaque ligne et vous pouvez donc éliminer (faire la moyenne) l'effet de la ligne sur la valeur attendue du traitement A.

orthogonalité

Je ne sais pas si c'est l'origine de l'étymologie mais c'est ce que j'imagine avec l'orthogonalité

Dans l'exemple, vous avez les tests suivants (colonne, ligne, traitement):

1,1,A
1,2,B
1,3,C
1,4,D
2,1,B
2,2,C
2,3,D
2,4,A
3,1,C
3,2,D
3,3,B
3,4,A
4,1,D
4,2,A
4,3,B
4,4,C

$M$$M^TM$

par exemple le produit des première et troisième colonnes $(1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4) \cdot (A,B,C,D,B,C,D,A,C,D,A,B,D,A,B,C) = (1+2+3+4)(A+B+C+D) = 16 \mu_i \mu_j$

et cette propriété peut être associée à l'orthogonalité des colonnes dans une matrice