La moyenne des matrices positives-définies est-elle également positive-définie?

15

La moyenne de plusieurs matrices positives-définies est-elle nécessairement positive-définie ou semi-définie positive? La moyenne est la moyenne par élément.

mathematical-statistics matrix covariance-matrix

— Wis
source

2

La moyenne est juste une somme suivie d'une mise à l'échelle. Est-ce vrai pour chacun d'entre eux?

— user541686

25

Oui, ça l'est. jth asnwer est correct (+1) mais je pense que vous pouvez obtenir une explication beaucoup plus simple avec seulement l'algèbre linéaire de base.

Supposons que et sont des matrices définies positives pour la taille . Par définition, cela signifie que pour tout , et . Cela signifie que ou de manière équivalente à . c'est à dire. doit être défini positif. $A$ $B$ $n$ $u \in R^n$ $0 < u^TAu$ $0 < u^TBu$ $0 < u^TAu + u^TBu$ $0 < u^T(A+B)u$ $(A+B)$

— usεr11852 dit Reinstate Monic
source

13

Bien sûr. L'ensemble des matrices définies positives forme un cône , ce qui signifie qu'il est fermé sous des combinaisons linéaires positives et une mise à l'échelle.

— nième
source