Je ne comprends pas la variance du binôme

Je me sens vraiment stupide même de poser une question aussi fondamentale, mais voici:

Si j'ai une variable aléatoire $X$ qui peut prendre des valeurs $0$ et , avec et , alors si j'en tire échantillons, j'obtiendrai une distribution binomiale. $1$ $P(X=1) = p$ $P(X=0) = 1-p$ $n$

La moyenne de la distribution est

$\mu = np = E(X)$

La variance de la distribution est

$\sigma^2 = np(1-p)$

Voici où commence mon problème:

La variance est définie par $\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2$ . Parce que le carré des deux résultats possibles $X$ ne change rien ( $0^2 = 0$ et $1^2 = 1$ ), cela signifie $E(X^2) = E(X)$ , donc cela signifie

$\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2 = E(X) - E(X)^2 = np - n^2p^2 = np(1-np) \neq np(1-p)$

Où va le supplémentaire $n$ ? Comme vous pouvez probablement le voir, je ne suis pas très bon en statistiques, alors n'utilisez pas de terminologie compliquée: s

variance binomial

— mourir
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et ceux-ci sont indépendants alors

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$

. Mais une route encore plus simple est

donc

donc avec indépendance

E [X^{2}] = E [X_{1}^{2} + X_{1} X_{2} + \dots + X_{1} X_{n} + X_{2} X_{1} + X_{2}^{2} + \dots] = n (n - 1) p^{2} + n p

$E[X^2]=E[X_1^2+X_1X_2 +\cdots+X_1X_n+X_2X_1+X_2^2+\cdots]=n(n-1)p^2 +np$

E [X_{1}]^{2} = p

$E[X_1]^2=p$

V a r [X_{1}] = p - p^{2}

$Var[X_1]=p-p^2$

V a r [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}] = n (p - p^{2})

$Var[X_1+X_2+\cdots+X_n]=n(p-p^2)$

— Henry

Réponses:

Une variable aléatoire prenant les valeurs et avec des probabilités et est appelée variable aléatoire de Bernoulli avec le paramètre . Cette variable aléatoire a $X$ $0$ $1$ $P(X=1)=p$ $P(X=0)=1-p$ $p$ Supposons que vous ayez un échantillon aléatoirede taillepartir de, et définir une nouvelle variable aléatoire

\begin{array}{rcl} E (X) & = & 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p \\ E (X^{2}) & = & 0^{2} \cdot (1 - p) + 1^{2} \cdot p = p \\ V a r (X) & = & E (X^{2}) - (E (X))^{2} = p - p^{2} = p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(X)&=&0\cdot (1-p) + 1\cdot p = p\\ E(X^2)&=&0^2\cdot(1-p) + 1^2\cdot p = p\\ Var(X)&=& E(X^2)-(E(X))^2=p-p^2=p(1-p) \end{eqnarray*}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$

n

$n$

B e r n o u l l i (p)

$Bernoulli(p)$

Y = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$Y=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$ , then the distribution of

Y

$Y$ is called Binomial, whose parameters are

n

$n$ and

p

$p$ . The mean and variance of the Binomial random variable Y is given by

\begin{array}{rcl} E (Y) & = & E (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = \underset{n}{\underset{⏟}{p + p + \dots + p}} = n p \\ V a r (Y) & = & V a r (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = V a r (X_{1}) + V a r (X_{2}) + \dots + V a r (X_{n}) \\ (as X_{i}'s are independent) \\ = & \underset{n}{\underset{⏟}{p (1 - p) + p (1 - p) + \dots + p (1 - p)}} (as X_{i}'s are identically distributed) \\ = & n p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(Y)&=&E(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=\underbrace{ p+p+\cdots +p}_{n}=np\\ Var(Y)&=& Var(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=Var(X_{1})+Var(X_{2})+\cdots + Var(X_{n})\\ & &\text{ (as $X_{i}$'s are independent)} \\ &=&\underbrace{p(1-p)+p(1-p)+\cdots+ p(1-p)}_{n}\quad \text{ (as $X_{i}$'s are identically distributed)} \\ &=&np(1-p) \end{eqnarray*}$

— L.V.Rao
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How does this answer the question, which was "Where does the extra n go?"?

— amoeba says Reinstate Monica

@amoeba Thank you very much for your comment. As OP could not distinguish between Bernoulli and Binomial random variables, I thought of reminding him the necessary definitions and the process of obtaining the required expressions.

— L.V.Rao

I am just saying that your answer would (in my opinion) improve if you explicitly point out the mistake in OP's reasoning. Your answer derives the correct formulas, but does not show where OP went wrong.

— amoeba says Reinstate Monica

@amoeba True. Giving some direction, making them correct themselves also helps sometimes.

— L.V.Rao

Two mistakes in your proving process:

1: $X$ in first paragraph has different definition comparing with $X$ in the rest of article.

2: Under the condition that $X$ ~ $Bin(p, n)$ , $E(X^2) \ne E(X)$ . Try to work from $E(X^2) = \sum {\left(x^2\Pr(X=x)\right)}$

— user158565
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If you like making your eyes bleed, I transcribed a lot of my notes from grad school. This particular link shows the derivation of E(X) and E(X^2) nutterb.github.io/ItCanBeShown/…

— Benjamin