Erreurs standard pour les coefficients de régression multiples?


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Je me rends compte que c'est une question très fondamentale, mais je ne trouve de réponse nulle part.

Je calcule les coefficients de régression en utilisant les équations normales ou la décomposition QR. Comment puis-je calculer les erreurs standard pour chaque coefficient? Je pense généralement que les erreurs standard sont calculées comme:

SEx¯ =σx¯n

Qu'est-ce que pour chaque coefficient? Quelle est la manière la plus efficace de calculer cela dans le contexte d'OLS?σx¯

Réponses:


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Lors de l'estimation des moindres carrés (en supposant une composante aléatoire normale), les estimations des paramètres de régression sont normalement distribuées avec une moyenne égale au paramètre de régression réel et à la matrice de covariance s 2 est la variance résiduelle et X T X est la matrice de conception. X T est la transposée de X et X est défini par l'équation du modèle Y = X β + ϵ avec βΣ=s2(XTX)1s2XTXXTXXY=Xβ+ϵβles paramètres de régression et est le terme d'erreur. L'écart type estimé d'un paramètre bêta est obtenu en prenant le terme correspondant dans ( X T X ) - 1 en le multipliant par l'estimation de l'échantillon de la variance résiduelle, puis en prenant la racine carrée. Ce n'est pas un calcul très simple, mais tout logiciel le calculera pour vous et le fournira dans la sortie.ϵ(XTX)1

Exemple

À la page 134 de Draper et Smith (référencé dans mon commentaire), ils fournissent les données suivantes pour ajuster par moindres carrés un modèle ε N ( 0 , I σ 2 ) .Y=β0+β1X+εεN(0,Iσ2)

                      X                      Y                    XY
                      0                     -2                     0
                      2                      0                     0
                      2                      2                     4
                      5                      1                     5
                      5                      3                    15
                      9                      1                     9
                      9                      0                     0
                      9                      0                     0
                      9                      1                     9
                     10                     -1                   -10
                    ---                     --                   ---
Sum                  60                      5                    32
Sum of  Squares     482                     21                   528

Ressemble à un exemple où la pente doit être proche de 0.

Xt=(111111111102255999910).

Donc

XtX=(nXiXiXi2)=(106060482)

et

(XtX)1=(Xi2n(XiX¯)2X¯(XiX¯)2X¯(XiX¯)21(XiX¯)2)=(48210(122)612261221122)=(0.3950.0490.0490.008)

X¯=Xi/n=60/10=6

β=(XTX)1XTY

b1 = 1/61 = 0,0163 et b0 = 0,5 à 0,0163 (6) = 0,402

(XTX)1

Désolé que les équations ne comportent pas d'indice et d'exposant lorsque je les coupe et les colle. La table ne s'est pas bien reproduite non plus car les espaces ont été ignorés. La première chaîne de 3 nombres correspond aux premières valeurs de XY et XY et de même pour les chaînes suivantes de trois. Après Sum vient les sommes pour XY et XY respectivement, puis la somme des carrés pour XY et XY respectivement. Les matrices 2x2 ont également été gâchées. Les valeurs après les crochets doivent être entre crochets sous les chiffres à gauche.


2
Ce n'est pas un plugin pour mon livre, mais je passe en revue les calculs de la solution des moindres carrés en régression linéaire simple (Y = aX + b) et je calcule les erreurs standard pour a et b, pp.101-103, The Essentials of Biostatistics pour les médecins, les infirmières et les cliniciens, Wiley 2011. une description plus détaillée peut être trouvée dans Draper et Smith Applied Regression Analysis 3e édition, Wiley New York 1998 page 126-127. Dans ma réponse qui suit, je prendrai un exemple de Draper et Smith.
Michael R. Chernick

8
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3
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