De la section donnée, je comprends comment vous pourriez voir que la stationnarité de implique la stationnarité de X t, mais en réalité cela n'implique qu'une variance constante de XX2tXt Xt .
Les auteurs de cette preuve utilisaient la stationnarité de pour compléter un argument qu'ils avaient commencé plus tôt en examinant des moments inconditionnels deX2tXt
Rappelez-vous le 2nd conditions afin de stationnarité:
- ∀ t ∈ ZE(Xt)<∞ ∀t∈Z
- ∀ t ∈ ZVar(Xt)=m ∀t∈Z
- ∀ h ∈ ZCov(Xt,Xt+h)=γx(h) ∀h∈Z
La condition 1 a été prouvée par E(Xt)=E(E(Xt|Ft−1))=0
La condition 3 a été prouvée par E(XtXt−1)=E(σtϵtσt−1ϵt−1)=E(E(σtϵtσt−1ϵt−1)|Ft−1)=E(σtσt−1E(ϵt−1ϵt)|Ft−1))=0
But to prove the second condition they needed to prove a constant unconditional variance of Xt
Var(Xt)=Var(Xt−1)=Var(Xt−2)=...=m
This is what leads to an assumption of stationarity of X2t which you have mentioned uses its AR(p) form. In brief:
Var(Xt)=====E(Var(Xt)|Ft−1)+Var(E(Xt|Ft−1))E(Var(ut|Ft−1))becausethelasttermis0E(b0+b1X2t−1+...bpX2t−p)b0+b1E(X2t−1)+...bpE(X2t−p)b0+b1var(Xt−1)+...bpvar(Xt−p)
If X^2_t is stationary then the roots of the polynomial would lie out of the unit circle and Σbi<1 This makes it possible to write:
var(Xt−1)=...=var(Xt−p)=b01−b1−...−bpwhichisalasconstant!