Si


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Je suis tombé sur une preuve pour l'une des propriétés du modèle ARCH qui dit que si E(Xt2)< , alors {Xt} est stationnaire ssi i=1pbi<1 où le modèle ARCH est:

Xt=σtϵt

σt2=b0+b1Xt12+...bpXtp2

L'idée principale de la démonstration est de montrer que Xt2 peut être écrit comme un processus AR (p) et si i=1pbi<1 est vrai, alors toutes les racines du polynôme caractéristique se trouvent en dehors du cercle unitaire et donc {Xt2} est stationnaire. Il dit alors que {Xt} est donc stationnaire. Comment cela se passe-t-il?


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En général, non. Vous pourriez imaginer un processus où est stationnaire, mais X tXt sur certains intervalles maisXt=Xt=Xt2 sur un autre intervalle de temps. Peut-être tiré par les cheveux, mais une possibilité mathématique. Xt=Xt2
kjetil b halvorsen

Réponses:


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De la section donnée, je comprends comment vous pourriez voir que la stationnarité de implique la stationnarité de X t, mais en réalité cela n'implique qu'une variance constante de XXt2Xt Xt .

Les auteurs de cette preuve utilisaient la stationnarité de pour compléter un argument qu'ils avaient commencé plus tôt en examinant des moments inconditionnels deXt2Xt

Rappelez-vous le 2nd conditions afin de stationnarité:

  1. t ZE(Xt)< tZ
  2. t ZVar(Xt)=m tZ
  3. h ZCov(Xt,Xt+h)=γx(h) hZ

La condition 1 a été prouvée par E(Xt)=E(E(Xt|Ft1))=0

La condition 3 a été prouvée par E(XtXt1)=E(σtϵtσt1ϵt1)=E(E(σtϵtσt1ϵt1)|Ft1)=E(σtσt1E(ϵt1ϵt)|Ft1))=0

But to prove the second condition they needed to prove a constant unconditional variance of Xt

Var(Xt)=Var(Xt1)=Var(Xt2)=...=m

This is what leads to an assumption of stationarity of Xt2 which you have mentioned uses its AR(p) form. In brief:

Var(Xt)=E(Var(Xt)|Ft1)+Var(E(Xt|Ft1))=E(Var(ut|Ft1))becausethelasttermis0=E(b0+b1Xt12+...bpXtp2)=b0+b1E(Xt12)+...bpE(Xtp2)=b0+b1var(Xt1)+...bpvar(Xtp)
If X^2_t is stationary then the roots of the polynomial would lie out of the unit circle and Σbi<1 This makes it possible to write:
var(Xt1)=...=var(Xtp)=b01b1...bpwhichisalasconstant!

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machazthegamer
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