Pourquoi la somme des échantillons d'autocorrélations d'une série stationnaire est-elle égale à -1/2?

Je ne peux pas saisir ma tête autour de cette propriété des séries stationnaires et de la fonction d'autocorrélation. Je dois prouver que

\begin{aligned} \sum_{h = 1}^{n - 1} \hat{ρ} (h) = - \frac{1}{2} \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{h=1}^{n-1}\hat\rho(h)=-\frac{1}{2} \end{align}$

Où et est la fonction d'autocovariance $\hat\rho(h)=\displaystyle\frac{\hat\gamma(h)}{\hat\gamma(0)}$ $\hat\gamma(h)$

\begin{aligned} \hat{γ} (h) = \frac{1}{n} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X}) \end{aligned}

$\begin{align} \hat\gamma(h) = \frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X}) \end{align}$

J'espère que quelqu'un pourra m'aider avec une preuve, ou du moins me diriger dans la bonne direction.

time-series autocorrelation stationarity

— Ernesto
source

Astuce: en soustrayant une constante de tous les

X_{t}

$X_t$ , qui ne changera aucun des

\hat{γ} (h)

$\hat\gamma(h)$ , vous pouvez supposer

0 = \sum_{t = 1}^{n} X_{t}

$0=\sum_{t=1}^nX_t$ . Carrez cela et recherchez des pièces qui correspondent à vos deux sommes.

— whuber

Merci pour la réponse. Je comprends que la soustraction d'une constante n'affecte aucun des , mais je ne vois pas pourquoi cela me permet de supposer que la somme de la série est égale à 0.

\hat{γ} (h)

$\hat{\gamma}(h)$

— Ernesto

Soustrayez exactement la constante qui rend égal à 0. Maintenant, votre

\sum X_{t}

$\sum X_t$

\hat{γ}

$\hat\gamma$ est simplifié (car le nouveau

X_{t}

$X_t$ 's ont une moyenne de 0) et les termes sont beaucoup plus faciles à jouer (mais sans perte de généralité).

— Glen_b -Reinstate Monica

Il semble que cela devrait être

1 / (n - h)

$1/(n-h)$ plutôt que

1 / n

$1/n$

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Je crois que les deux versions sont des estimateurs valides de la fonction d'autocovariance avec les mêmes propriétés asymptotiques mais j'ai lu quelque part que

1 / n

$1/n$ est préféré. (La raison en est que la matrice

\hat{γ} (i - j)

$\hat{\gamma}(i-j)$ est positif semi-défini, je ne suis pas mathématicien donc je ne peux pas vraiment expliquer cette raison!)

— Ernesto

Commençons par représenter la somme $S$ en utilisant la définition de la fonction d'autocorrélation:

S = \sum_{h = 1}^{n - 1} \hat{ρ} (h) = \sum_{h = 1}^{n - 1} (\frac{\frac{1}{n} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})}{\frac{1}{n} \sum_{t = 1}^{n} (X_{t} - \bar{X})^{2}})

$\begin{equation} S = \sum_{h=1}^{n-1} \hat{\rho}(h) = \sum_{h=1}^{n-1} \left(\frac{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}(X_t-\bar{X})^2}\right) \end{equation}$

Le dénominateur ne dépend pas $h$ afin que nous puissions simplifier et déplacer l'avant $\sum$ au numérateur, ce qui nous donne:

S = \frac{\sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})}{\sum_{t = 1}^{n} (X_{t} - \bar{X})^{2}}

$\begin{equation} S = \frac{\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h} (X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}{\sum_{t=1}^{n} (X_t-\bar{X})^2} \end{equation}$

Considérons maintenant le dénominateur. Comment représentons-nous pour obtenir une expression similaire au numérateur? Ensemble $Y_t=X_t-\bar{X}$ . alors $\sum_{t=1}^{n}Y_t=0.$ Le dénominateur ici est $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2}$ . Nous savons que $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = \left(\sum_{t=1}^{n}Y_t\right)^2 - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$ , c'est-à-dire en soustrayant toutes les paires uniques $\times$ 2. Parce que $\sum_{t=1}^{n}Y_t=0$ , il s'ensuit que $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$ .

En se rebranchant en termes de X, le dénominateur devient $- 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})$ . Alors,

S = \frac{\sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})}{- 2 \sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X})} = - \frac{1}{2}

$\begin{equation} S=\frac{\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}{- 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}= -\frac{1}{2} \end{equation}$

J'espère que cela t'aides!

— Dilly Minch
source

Merci beaucoup, je vais accepter cette réponse dans un instant, je n'ai qu'une dernière question. Tout est clair pour moi sauf cette partie:

\sum_{t = 1}^{n} Y_{t}^{2} = {(\sum_{t = 1}^{n} Y_{t})}^{2} - 2 \sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} Y_{t} Y_{t + h}

$\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = \left(\sum_{t=1}^{n}Y_t\right)^2 - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$ . Je ne comprends pas comment nous pouvons inclure la double sommation ici, je suppose que c'est une propriété ou une identité de la sommation?

— Ernesto

Pour voir cela, essayez de développer

(\sum_{t = 1}^{n} Y_{t})^{2}

$(\sum_{t=1}^n Y_t)^2$ . Vous obtenez la somme de

Y_{t}^{2}

$Y_t^2$ , les autres termes sont de type

Y_{i} Y_{j}

$Y_iY_j$ pour

i \neq j

$i\neq j$ , dont chacun se produit deux fois dans l'expansion en raison de la symétrie. Maintenant, la double sommation vient de l'énumération de ces paires de la manière suivante: Pour

Y_{1}

$Y_1$ , Nous comptons

Y_{2}, Y_{3}

$Y_2, Y_3$ , etc. Pour

Y_{2}

$Y_2$ , Nous comptons

Y_{3}, Y_{4}

$Y_3,Y_4$ etc., jusqu'à ce que nous atteignions

Y_{n - 1}

$Y_{n-1}$ pour la paire finale

Y_{n - 1} Y_{n}

$Y_{n-1}Y_n$ .

— Dilly Minch