Troisième moment central d'une somme d'un nombre aléatoire de variables aléatoires iid

Inspiré par cette question , j'ai essayé d'obtenir une expression pour le troisième moment central d'une somme d'un nombre aléatoire de variables aléatoires iid. Ma question est de savoir si elle est correcte et, sinon, ce qui ne va pas ou quelles hypothèses supplémentaires pourraient manquer.

Plus précisément, laissez:

S = \sum_{1}^{N} X_{i},

$S=\sum_1^N{X_i},$ où est une variable aléatoire à valeur entière non négative.

N

$N$

Supposons que les distributions des deux et sont connus (et sont IID), je veux connaître la valeur du troisième moment central de . $N$ $X$ $X_i$ $S$

En utilisant la loi de la consommation totale:

μ_{3} (S) = E [μ_{3} (S | N)] + μ_{3} (E [S | N]) + 3 c o v (E [S | N], V [S | N]),

$\mu_3(S)=E[\mu_3(S|N)]+\mu_3(E[S|N])+3cov(E[S|N],V[S|N]),$

mais $E[S|N]=N\cdot E[X]$ , $E[S|N]=N\cdot V[X]$ et, si j'ai raison, $\mu_3(S|N)=N\cdot \mu_3[X]$ . Par conséquent:

μ_{3} (S) = E [N \cdot μ_{3} (X)] + μ_{3} (N \cdot E [X]) + 3 c o v (N \cdot E [X], N \cdot V [X]),

$\mu_3(S)=E[N\cdot \mu_3(X)]+\mu_3(N\cdot E[X])+3cov(N\cdot E[X],N\cdot V[X]),$

et, puisque les moments de $X$ sont censés être connus:

μ_{3} (S) = μ_{3} (X) E [N] + E [X]^{3} μ_{3} (N) + 3 E [X] V [X] c o v (N, N)

$\mu_3(S)=\mu_3(X)E[N]+E[X]^3\mu_3(N)+3E[X]V[X]cov(N,N)$

Bien sûr, $cov(N,N)=V[N]$ , donc:

μ_{3} (S) = μ_{3} (X) E [N] + E [X]^{3} μ_{3} (N) + 3 E [X] V [X] V [N]

$\mu_3(S)=\mu_3(X)E[N]+E[X]^3\mu_3(N)+3E[X]V[X]V[N]$

Est ce juste? Qu'est-ce qui ne va pas? Quelles hypothèses supplémentaires me manque-t-il?

random-variable moments

— Rafael
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Vos pas me semblent droits. Nous devons supposer que les moments existent. La seule étape dont j'étais incertain était . Mais, nous pouvons prouver que: $\mu_3(S | X) = N \cdot \mu_3[X]$

\begin{aligned} μ_{3} (S | X) & = E [(S - E [S])^{3} | N] \\ = E [{(\sum_{i = 1}^{N} (X_{i} - E [X]))}^{3} | N] \\ = E [\sum_{i = 1}^{N} (X_{i} - E [X])^{3} | N] \end{aligned}

$\begin{align} \mu_3(S | X) &= E\left[(S - E[S])^3 | N \right] \\ &= E\left[ \left( \sum_{i=1}^N (X_i - E[X]) \right)^3 \middle| N \right] \\ &= E \left[ \sum_{i=1}^N (X_i - E[X])^3 \middle| N\right] \end{align}$ où établir la dernière égalité, nous pouvons utiliser le théorème multinomial. Pour un donné ,

n

$n$

\begin{aligned} E [{(\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - E [X]))}^{3}] & = E [\sum_{\sum_{i = 1}^{n} k_{i} = 3} (\binom{3}{k_{1}, \dots, k_{n}}) (X_{1} - E [X])^{k_{1}} \dots (X_{n} - E [X])^{k_{n}}] \\ = E [\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - E [X])^{3}], \end{aligned}

$\begin{align} E\left[ \left( \sum_{i=1}^n (X_i - E[X]) \right)^3 \right] &= E \left[ \sum_{\sum_{i=1}^n k_i = 3} {3 \choose{k_1, \ldots, k_n}} (X_1 - E[X])^{k_1} \cdots (X_n - E[X])^{k_n} \right] \\ &= E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - E[X])^3 \right], \end{align}$ car lorsque pour tout , il existe un autre où (en raison de l'indépendance de et et du fait que l'espérance de est nulle, ce terme particulier devenant nul). Il doit maintenant être clair que .

k_{i} = 2

$k_i = 2$

i

$i$

j

$j$

k_{j} = 1

$k_j=1$

X_{i}

$X_i$

X_{j}

$X_j$

X_{j} - E [X]

$X_j - E[X]$

μ_{3} (S | X) = N \cdot μ_{3} [X]

$\mu_3(S | X) = N \cdot \mu_3[X]$

— jagdish
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