Preuve que si un moment supérieur existe alors un moment inférieur existe également

Le $r$ ème moment d'une variable aléatoire $X$ est fini si

E (| X^{r} |) < \infty

$\mathbb E(|X^r|)< \infty$

J'essaie de montrer que pour tout entier positif $s<r$ , alors le $s$ ème instant $\mathbb E[|X^s|]$ est également fini.

self-study moments function

— nona
source

Est-ce des devoirs? Si oui, qu'avez-vous essayé jusqu'à présent? De plus, j'ai essayé de rendre votre question plus lisible, faites-le moi savoir si j'ai fait une erreur.

— Gschneider

J'ai lu le manuel de billingsley et recherché sur Internet mais aucune preuve exacte n'existe. Ce que j'ai trouvé n'est qu'un indice, peut-être que l'inégalité de Jensen peut être utilisée.

— nona

Envisagez de réécrire

| X^{r} |

$|X^r|$ comme

| X^{s} \cdot X^{r - s} |

$|X^s \cdot X^{r-s}|$ et voyez si cela vous mène quelque part.

— Gschneider

Il y a une différence entre un moment existant et un moment fini . En particulier, un moment peut exister, mais être infini. La terminologie à laquelle vous êtes présenté est un peu imprécise. Dans tous les cas, il s'agit d'un résultat standard sur les espaces

L_{p}

$L_p$ ; il n'est pas vrai qu '"aucune preuve exacte n'existe". :)

— cardinal

$0<s<r \Longrightarrow \forall X \, |X|^s \le \max(1, |X|^r)$

— StasK
source

Bien. Vous pouvez également le prouver à l'aide de l'inégalité de Jensen.

— Stéphane Laurent

(+1) J'aime cela car il ne repose que sur les propriétés les plus élémentaires de l'attente, à savoir la monotonie. Dans le cas où l'on s'inquiète de ce qu'il faut faire avec le côté droit, ils peuvent noter que . Si l'on préfère une application de Jensen, ils peuvent écrire et noter que .

max (1, | X |^{r}) \leq 1 + | X |^{r}

$\max(1,|X|^r) \leq 1 + |X|^r$

| X |^{r} = (| X |^{s})^{r / s}

$|X|^r = (|X|^s)^{r/s}$

r / s \geq 1

$r/s \geq 1$

— Cardinal

@cardinal: (+1) Je préfère votre inégalité car elle implique directement ...

| X |^{r}

$|X|^r$

— Xi'an