La moyenne harmonique minimise la somme des erreurs relatives au carré

Je recherche une référence où il est prouvé que la moyenne harmonique

{\bar{x}}^{h} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}}}

$\bar{x}^h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$

minimise (en ) la somme des erreurs relatives au carré $z$

\sum_{i = 1}^{n} (\frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}) .

$\sum_{i=1}^n \left( \frac{(x_i - z)^2}{x_i}\right).$

— Martin Van der Linden
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Réponses:

Pourquoi avez-vous besoin d'une référence? Il s'agit d'un simple problème de calcul: pour que le problème tel que vous l'avez formulé ait un sens, nous devons supposer que tout . Définissez ensuite la fonction $x_i > 0$ Calculer ensuite la dérivée par rapport à:

f (z) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}

$f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - z)^2}{x_i}$

z

$z$

puis la résolution de l'équation

donne la solution. Maintenant, bien sûr, nous devons vérifier qu'il s'agit bien d'un minimum, pour cela calculer la dérivée seconde:

f^{'} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (1 - \frac{z}{x_{i}})

$f'(z) = -2\cdot \sum_{i=1}^n (1-\frac{z}{x_i})$

f^{'} (z) = 0

$f'(z)=0$

pour la dernière inégalité, nous avons finalement utilisé que tous les

f^{″} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (0 - \frac{1}{x_{i}}) = 2 \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}} > 0

$f''(z) = -2 \cdot \sum_{i=1}^n (0-\frac1{x_i}) = 2 \sum_{i=1}^n \frac1{x_i} > 0$

x_{i} > 0

$x_i>0$ . Sans cette hypothèse, nous pourrions en effet risquer d'avoir trouvé un maximum!

En ce qui concerne une référence, peut-être https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean ou https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean ou des références à l'intérieur.

— kjetil b halvorsen
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Merci pour votre réponse. Une référence me ferait gagner de la place. Je veux citer le résultat en tant que lemme dans une autre preuve sans avoir à inclure une preuve autonome du lemme.

— Martin Van der Linden

Il est difficile de trouver une référence explicite, son considéré comme basique pour en mériter une! Ne pouvez-vous pas simplement dire que la preuve est un exercice de calcul de base?

— kjetil b halvorsen

Aussi basique soit-elle, je préfère toujours fournir une référence. Mais je comprends que les résultats de base sont difficiles à trouver, et laisser la preuve au lecteur est clairement une option.

— Martin Van der Linden

Ping temporaire hors sujet: envisagez de voter pour le synonyme spearman-> spearman-rho ici stats.stackexchange.com/tags/spearman-rho/synonymes . Merci

— amibe dit Réintégrer Monica

$1/x_i$

$\beta$

\sum ω_{i} (y_{i} - β)^{2} .

$\sum \omega_i (y_i - \beta)^2.$

X = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})

$X = \pmatrix{1\\1\\\vdots\\1}$

W = (\begin{matrix} ω_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & ω_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & ω_{n} \end{matrix}) .

$W = \pmatrix{\omega_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \omega_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \omega_n}.$

$x_i$ $y_i$ $\beta$ $z$ $\omega_i=1/x_i$ $0$ . La solution est

\hat{β} = (X^{'} W X)^{- 1} X^{'} W y = \frac{\sum_{i} x_{i} ω_{i}}{\sum_{i} ω_{i}} = \frac{\sum_{i} x_{i} / x_{i}}{\sum_{i} 1 / x_{i}} = \frac{n}{\sum 1 / x_{i}},

$\hat\beta = (X^\prime W X)^{-1}X^\prime W y = \frac{\sum_i x_i\omega_i }{\sum_i \omega_i} = \frac{\sum_i x_i/x_i }{\sum_i 1/x_i} = \frac{n}{\sum 1/x_i},$

QED .

commentaires

La même analyse s'applique à tous les ensembles de poids positifs, fournissant une généralisation de la moyenne harmonique et un moyen utile de le caractériser.
$x_i$
$x_i$ $W$

Référence

Douglas C. Montgomery, Elizabeth A. Peck et G. Geoffrey Vining, Introduction to Linear Regression Analysis. Cinquième édition. J. Wiley, 2012. Section 5.5.2.

— whuber
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