Le modèle le plus simple à effets aléatoires est le modèle ANOVA unidirectionnel à effets aléatoires, donné par les observations avec des hypothèses de distribution: ( y i j ∣ μ i ) ∼ iid N ( μ i ,yij
(yij∣μi)∼iidN(μi,σ2w),j=1,…,J,μi∼iidN(μ,σ2b),i=1,…,I.
Ici, les effets aléatoires sont les . Ce sont des variables aléatoires, alors que ce sont des nombres fixes dans le modèle ANOVA avec des effets fixes.μi
Par exemple, chacun des trois techniciens dans un laboratoire enregistre une série de mesures, et y i j est la j- ème mesure du technicien i . Appelez μ i la "vraie valeur moyenne" de la série générée par le technicien i ; il s'agit d'un paramètre légèrement artificiel, vous pouvez voir μ i comme la valeur moyenne que le technicien i aurait obtenu s'il avait enregistré une énorme série de mesures.i=1,2,3yijjiμiiμii
Si vous souhaitez évaluer , μ 2 , μ 3 (par exemple pour évaluer le biais entre opérateurs), alors vous devez utiliser le modèle ANOVA à effets fixes.μ1μ2μ3
Vous devez utiliser le modèle ANOVA avec des effets aléatoires lorsque vous êtes intéressé par les variances et σ 2 b définissant le modèle, et la variance totale σ 2 b + σ 2 w (voir ci-dessous). La variance σ 2 w est la variance des enregistrements générés par un technicien (elle est supposée être la même pour tous les techniciens), et σ 2σ2wσ2b σ2b+ σ2wσ2w est appelée la variance entre techniciens. Idéalement, les techniciens devraient être choisis au hasard.σ2b
Ce modèle reflète la formule de décomposition de la variance pour un échantillon de données:
Variance totale = variance des moyennes moyennes des intra-variances+
qui se traduit par le modèle ANOVA avec des effets aléatoires:
En effet, la distribution de est définie par sa distribution conditionnelle ( y i j ) donnée µ i et par la distribution de µ i . Si l'on calcule la distribution "inconditionnelle" de y i j alors on trouve y i j ∼ N ( μ , σ 2 b + σ 2 w ) .yje j( yje j)μjeμjeyje jyje j∼ N( μ , σ2b+ σ2w)
Voir diapositive 24 et diapositive 25 ici pour de meilleures photos (vous devez enregistrer le fichier pdf pour apprécier les superpositions, ne regardez pas la version en ligne).