Voici le problème d'écart le moins absolu sous concerné:. Je sais qu'il peut être réorganisé comme problème LP de la manière suivante:$\underset{\textbf{w}}{\arg\min} L(w)=\sum_{i=1}^{n}|y_{i}-\textbf{w}^T\textbf{x}|$

$\min \sum_{i=1}^{n}u_{i}$

$u_i \geq \textbf{x}^T\textbf{w}- y_{i} \; i = 1,\ldots,n$

$u_i \geq -\left(\textbf{x}^T\textbf{w}-y_{i}\right) \; i = 1,\ldots,n$

Mais je n'ai aucune idée de le résoudre étape par étape, car je suis un débutant chez LP. Avez-vous une idée? Merci d'avance!

ÉDITER:

Voici la dernière étape que j'ai atteinte à ce problème. J'essaie de résoudre le problème suite à cette note :

Étape 1: Formulation sous forme standard

$\min Z=\sum_{i=1}^{n}u_{i}$

$\textbf{x}^T\textbf{w} -u_i+s_1=y_{i} \; i = 1,\ldots,n$

$\textbf{x}^T\textbf{w} +u_i+s_2=-y_{i} \; i = 1,\ldots,n$

sous réserve de $s_1 \ge 0; s_2\ge 0; u_i \ge 0 \ i=1,...,n$

Étape 2: Construire un tableau initial

           |      |    0      |    1   |  0  |   0   |   0    
 basic var | coef |  $p_0$    |  $u_i$ |  W  | $s_1$ | $s_2$ 
      $s_1$| 0    |  $y_i$    |   -1   |  x  |   1   |   0
      $s_2 | 0    |  $-y_i$   |    1   |  x  |   0   |   1
      z    |      |    0      |    -1  |  0  |   0   |   0

Étape 3: Choisissez les variables de base

$u_i$ est choisi comme variable de base d'entrée. Voici un problème. Lors du choix de la variable de base de sortie, il est évident que $y_i/-1=-y_i/1=-y_i$ . Selon la note, si $y_i\ge0$ , le problème a une solution illimitée.

Je suis totalement perdu ici. Je me demande s'il y a quelque chose qui ne va pas et comment dois-je continuer les étapes suivantes.

Vous voulez un exemple pour résoudre la moindre déviation absolue par programmation linéaire. Je vais vous montrer une implémentation simple dans R. La régression quantile est une généralisation de l'écart le moins absolu, ce qui est le cas du quantile 0,5, donc je vais vous montrer une solution pour la régression quantile. Ensuite, vous pouvez vérifier les résultats avec le quantregpackage R :

rq_LP  <-  function(x, Y, r=0.5, intercept=TRUE) {
    require("lpSolve")
    if (intercept) X  <-  cbind(1, x) else X <-  cbind(x)
    N   <-  length(Y)
    n  <-  nrow(X)
    stopifnot(n == N)
    p  <-  ncol(X)
    c  <-  c(rep(r, n), rep(1-r, n), rep(0, 2*p))  # cost coefficient vector
    A  <- cbind(diag(n), -diag(n), X, -X)
    res  <-  lp("min", c, A, "=", Y, compute.sens=1)
### Desempaquetar los coefs:
    sol <- res$solution
    coef1  <-  sol[(2*n+1):(2*n+2*p)]
    coef <- numeric(length=p)
    for (i in seq(along=coef)) {
         coef[i] <- (if(coef1[i]<=0)-1 else +1) *  max(coef1[i], coef1[i+p])
    }
    return(coef)
    }

Ensuite, nous l'utilisons dans un exemple simple:

library(robustbase)
data(starsCYG)
Y  <- starsCYG[, 2]
x  <- starsCYG[, 1]
rq_LP(x, Y)
[1]  8.1492045 -0.6931818

alors vous-même pouvez faire le contrôle avec quantreg.

La programmation linéaire peut être généralisée avec l'optimisation convexe, où en plus du simplexe, de nombreux algorithmes plus fiables sont disponibles.

Je vous suggère de vérifier le livre d'optimisation convexe et la boîte à outils CVX qu'ils ont fournie. Où vous pouvez facilement formuler l'écart le moins absolu avec la régularisation.

https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf

http://cvxr.com/cvx/