Pourquoi P (A, B | C) / P (B | C) = P (A | B, C)?

Je comprends $P(A\cap B)/P(B) = P(A|B)$ . Le conditionnel est l'intersection de A et B divisée par toute l'aire de B.

Mais pourquoi $P(A\cap B|C)/P(B|C) = P(A|B \cap C)$ ?

Pouvez-vous donner une certaine intuition?

Cela ne devrait-il pas être: $P(A\cap B \cap C)/P(B,C) = P(A|B \cap C)$ ?

Tout résultat de probabilité qui est vrai pour une probabilité inconditionnelle reste vrai si tout est conditionné par un événement.

Vous savez que par définition, et donc si nous conditionnons tout surC, nous obtenons que P(A∣(B∩C))=P((A∩B)∣C

$$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\tag{1}$$ $C$ exactement comme vous le dit votre intuition. Mais, vous pouvez définirD=B∩C et commencer par la définition deP(A∣(B∩C))=P(A∣D)comme dans(1)P(A∣(B∩C)))=P(A∣D)=P $$P(A\mid (B \cap C)) = \frac{P((A\cap B)\mid C)}{P(B\mid C)}\tag{2}$$ $D = B\cap C$$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D)$$(1)$ puis multipliez et divisez parP(C))à droite de(3)pour écrire le résultat final sous la forme(2)comme dans la réponse de Taylor. $$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{P(A\cap (B \cap C))}{P(B\cap C)} = \frac{P(A\cap B \cap C)}{P(B\cap C)}\tag{3}$$ $P(C))$$(3)$$(2)$

Dessinez simplement le diagramme de Venn. On a alors et la relation suit en divisant la première expression par la seconde.

$$\Pr[A \cap B \mid C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[B \mid C] = \frac{\text{"1"} + \text{"2"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[A \mid B \cap C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"1"} + \text{"2"}},$$

$$\begin{align*} \frac{P(A,B|C)}{P(B|C)} &= \frac{P(A,B,C)}{P(C)}\frac{P(C)}{P(B,C)} \\ &= \frac{P(A,B,C)}{P(B,C)} \\ &= P(A|B,C) \end{align*}$$

Mon intuition est la suivante ...

$C$$C$$C$

$C$$X$$\hat{P}(X)$

$$\hat P(A|B) = \frac{\hat P(A\cap B)}{\hat P(B)}\text{.}$$

$C$$\hat P(X)$$P(X|C)$

Vous pouvez immédiatement réécrire le RHS, après la découverte supérieure:

$$\frac{P(A\cap B\mid C)}{P(B \mid C)}\text{.}$$

Mais ... Qu'est-ce que le LHS? Eh bien, quelle est la probabilité de$A$ quand $B$ est donné lorsque $C$est (aussi) donné? Précisément

$$P(A\mid B\cap C)\text{,}$$ d'où la formule.