Quel est le nom de la distribution avec une densité de probabilité comme ?

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Veuillez pardonner mon ignorance, quel est le nom de la distribution avec une densité de probabilité comme celle-ci? ou plus généralement ou where est une constante de normalisation.

p (X) \propto \frac{1}{1 + e^{X}}, X > 0,

$p(x) \propto \frac{1}{1 + e^x},\quad x > 0\,,$

p (X) \propto \frac{1}{1 + α e^{β X}}, X > 0,

$p(x) \propto \frac{1}{1 + \alpha e^{\beta x}},\quad x > 0\,,$

p (X) = η \frac{1}{1 + α e^{β X}}, X > 0,

$p(x) = \eta \frac{1}{1 + \alpha e^{\beta x}},\quad x > 0\,,$

η

$\eta$

probability distributions

— gwding
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Ceci est identique à une distribution courante en physique appelée distribution de Fermi-Dirac, qui décrit une situation appelée statistiques de Fermi-Dirac . Dans un certain contexte en physique, le nombre moyen de particules avec une énergie est où , et sont des paramètres physiques qui ne sont probablement pas si importants pour vous (le potentiel chimique, la constante de Boltzmann et la température). Il est trivial de réinterpréter cela comme une fonction de densité de probabilité pour l'énergie d'une particule. $\epsilon$

{\bar{n}}_{ϵ} = \frac{1}{e^{(ϵ - μ) / k T} + 1}

$\bar{n}_\epsilon = \frac{1}{e^{(\epsilon -\mu)/kT}+1}$

μ

$\mu$

k

$k$

T

$T$

— jwimberley
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Merci! puisque j'ai aussi un paramètre que je peux ajuster, pensez-vous que je devrais l'appeler "distribution FD étendue / généralisée / modifiée"? ou avez-vous une suggestion sur ce type de convention de dénomination?

α

$\alpha$

— gwding

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@gwding Votre paramètre alpha correspond au paramètre "potentiel chimique" dans la distribution FD: . Il se peut que vous obteniez un meilleur aperçu de la nature de la distribution en utilisant quelque chose de plus proche de la forme physique, avec dans le dénominateur. Par coïncidence, est souvent noté en physique, donc votre convention de dénomination pour ce paramètre est la même!

α = \exp (- μ / k T)

$\alpha = \exp(-\mu/kT)$

\exp (β (x - x_{0}))

$\exp(\beta(x-x_0))$

1 / k T

$1/kT$

β

$\beta$

— jwimberley

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La constante de normalisation pour la première devrait être (pas que cela soit vraiment important pour la présente question). $\frac{1}{\ln(2)}$

Je ne sais pas non plus avoir un nom. La première (sans la constante de normalisation ) est la fonction de survivant pour une distribution logistique tronquée, mais je ne l'ai pas vue utilisée pour une fonction de densité (bien que je m'attende à ce qu'elle ait probablement été nommée plusieurs fois ... c'est souvent le cas avec des formes fonctionnelles simples qui ne sont pas très utilisées, où les gens "réinventent" de telles choses sans rencontrer d'idées précédentes, qui sont souvent dans des domaines d'application différents *). $\log(2)$

Si vous deviez essayer de le nommer, à cause de la forme fonctionnelle de type logistique, vous voudriez probablement y insérer quelque part le mot "logistique", mais la difficulté serait de choisir un nom qui le distinguerait suffisamment du densité logistique.

* et la réponse de jwimberly offre un tel domaine d'application. Le nom " distribution Fermi-Dirac " semble un choix parfaitement raisonnable si vous n'avez pas de nom dans la zone d'application dans laquelle vous travaillez.

— Glen_b -Reinstate Monica
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Une densité qui s'intègre à l'unité sur $[0,\infty]$ serait

F_{X} (X) = \frac{θ}{\ln 2} \frac{1}{1 + e^{θ X}}, θ > 0

$f_X(x) = \frac {\theta}{\ln 2}\frac{1}{1+e^{\theta x}},\;\;\; \theta >0$

Les moments bruts sont donnés par

E (X^{k}) = \frac{(1 - 2^{- k})}{\ln 2} \frac{1}{θ^{k}} \cdot Γ (k + 1) \cdot ζ (k + 1)

$E(X^k) = \frac {(1-2^{-k})}{\ln 2} \frac {1}{\theta^{k}}\cdot \Gamma(k+1) \cdot \zeta(k+1)$

où $\Gamma()$ est la fonction Gamma et $\zeta()$ est la fonction zêta de Riemann. Donc

E (X) = \frac{π^{2}}{12 \cdot \ln 2} θ^{- 1} \approx 1.1866 \cdot θ^{- 1}

$E(X) = \frac {\pi^2}{12\cdot \ln 2}\theta^{-1} \approx 1.1866 \cdot \theta^{-1}$

E (X^{2}) \approx \frac{7.212}{4 \cdot \ln 2} θ^{- 2} \approx 2,601 \cdot θ^{- 2}

$E(X^2) \approx \frac {7.212}{4\cdot \ln 2}\theta^{-2} \approx 2.601 \cdot \theta^{-2}$

menant à

Var (X) \approx 1,193 \cdot θ^{- 2}

$\text{Var}(X) \approx 1.193 \cdot \theta^{-2}$

Des calculs numériques les vérifient.

— Alecos Papadopoulos
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Comment cela répond-il à la question?

— Jorge Leitao

@ JCLeitão J'ai tendance à avoir une vision plus large de "quelle est la question". Voir cet article, meta.stats.stackexchange.com/q/2158/28746 , où j'avance mon argument et propose également quelques données cv pour le sauvegarder. En outre, offrir l'expression du moment pour une distribution qui n'a pas été étudiée est une connaissance utile pour quiconque souhaite utiliser la distribution.

— Alecos Papadopoulos

Je suis d'accord avec vos conclusions dans la méta que vous avez mentionnée, "Les moments de ce PDF sont X" n'est pas une réponse plus large à la question "Comment est nommé ce PDF?". La distribution a également été étudiée auparavant, comme d'autres réponses se réfèrent.

— Jorge Leitao

@ JCLeitão Comme je l'ai déjà écrit, ma principale préoccupation et critère est de savoir si ce sont des informations pertinentes et utiles qui sont présentes dans ce fil, et c'est le cas. Le lien avec la distribution de Fermi-Dirac a été noté dans les autres réponses mais je n'ai pas vu d'expression explicite pour les moments bruts. C'est un phénomène habituel que les réponses en CV ne soient pas compétitives mais complémentaires, chacune fournissant des informations / connaissances utiles.

— Alecos Papadopoulos