Comment est

Je suis tout nouveau en statistiques et j'étudie les mathématiques derrière les tests fractionnés (A / B et multivariés). J'ai appris à calculer $\chi^2$ avec des données de test données, et je comprends comment traduire cela en probabilité via une table, mais j'aimerais pouvoir calculer la probabilité moi-même. J'ai lu quelques explications en ligne, mais je ne comprends pas.

Quelqu'un connaît-il une ressource ou un livre qui décompose cela?

chi-squared p-value

— Lenwood
source

le $p$ -la valeur est la zone sous le $\chi^2$ densité à droite de la statistique de test observée. Par conséquent, pour calculer la $p$ -valeur à la main dont vous avez besoin pour calculer une intégrale.

En particulier, un $\chi^2$ variable aléatoire avec $k$ degrés de liberté a une densité de probabilité

f (x; k) = {\begin{cases} \frac{x^{(k / 2) - 1} e^{- x / 2}}{2^{k / 2} Γ (\frac{k}{2})}, & x \geq 0; \\ 0, & otherwise . \end{cases}

$f(x;\,k) = \begin{cases} \frac{x^{(k/2)-1} e^{-x/2}}{2^{k/2} \Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}, & x \geq 0; \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$

Supposons que vous observiez une statistique de test $\lambda$ . Puis le $p$ -valeur correspondant à $\lambda$ est

p = \int_{λ}^{\infty} \frac{x^{(k / 2) - 1} e^{- x / 2}}{2^{k / 2} Γ (\frac{k}{2})} d x

$p = \int_{\lambda}^{\infty} \frac{x^{(k/2)-1} e^{-x/2}}{2^{k/2} \Gamma\left(\frac{k}{2}\right)} dx$

Après avoir essayé d'évaluer cette intégrale à la main, vous comprendrez peut-être pourquoi les gens utilisent des tables (et des ordinateurs) pour calculer de telles choses.

Edit: (Ce fut dans les commentaires mais semblait assez important pour ajouter ici) Notez que vous pouvez écrire le $p$ -valeur en utilisant des fonctions spéciales:

p = 1 - \frac{γ (k / 2, λ / 2)}{Γ (k / 2)}

$p = 1−\frac{γ(k/2,λ/2)}{Γ(k/2)}$

où est la fonction gamma incomplète inférieure. $\gamma(\cdot,\cdot)$

— Macro
source

Merci pour votre réponse Macro, votre réponse est utile. Je pense que l'endroit où je suis coincé est la fonction gamma. Je peux faire avancer l'intégration (bien que mon calcul soit rouillé), mais je ne comprends pas la fonction gamma. Je ferai des recherches à ce sujet. Mon objectif est de créer une page Web qui effectue ces calculs. Je sais que quelques-uns d'entre eux existent déjà, mon objectif principal en faisant cela est de comprendre pleinement les mathématiques derrière les résultats.

— Lenwood

Eh bien, si vous espérez trouver une solution exacte qui n'implique pas de fonctions spéciales (par exemple la fonction gamma), je pense que vous allez rester coincé. La solution réelle est , où désigne la fonction gamma incomplète inférieure . Les deux et sont définis en termes d'intégrales, de sorte que toute calculatrice programme pour votre site web devra impliquer une routine d'intégration numérique.

p = 1 - \frac{γ (k / 2, λ / 2)}{Γ (k / 2)}

$p = 1 - \frac{ \gamma(k/2, \lambda/2) }{\Gamma(k/2)}$

γ (\cdot, \cdot)

$\gamma(\cdot,\cdot)$

Γ

$\Gamma$

γ

$\gamma$

— Macro

Cela a été un exercice vraiment amusant et j'ai appris une tonne dans le processus. J'ai construit ma page Web en calculant la probabilité par interpolation linéaire. Merci pour votre aide Marco.

— Lenwood

Pas de problème, Lenwood. Quel genre d'erreur commettez-vous? Avez-vous un lien vers le site Web?

— Macro

J'ai exécuté la page sur mon propre système, mais je vais la mettre en place pendant quelques jours. Vous pouvez le voir ici, chisq.nfshost.com . Comme j'ai passé plus de temps avec cela, je me rends compte que mes valeurs pour sont cohérentes avec les autres calculatrices que j'ai vues, mais pas avec R. Je crois que la différence réside dans le calcul des valeurs attendues. Je posterai cela comme une question distincte.

χ^{2}

$\chi^2$

— Lenwood