Statistiques complètes pour

Je voudrais savoir si la statistique est complète pour dans un paramètre .

T (X_{1}, \dots, X_{n}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - {\bar{X}}_{n})^{2}}{n - 1}

$T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}$

σ^{2}

$\sigma^2$

N (μ, σ^{2})

$N(\mu,\sigma^2)$

Cela dépend-il de savoir si est déjà connu ou non? Si est complet pour , alors par Lehmann-Scheffé c'est UMVUE . Mais si était connu, nous aurions pu considérer dont la variance est égale à la Cramer-Rao a lié et est strictement inférieur à , donc ne peut pas être UMVUE. $\mu$ $T$ $\sigma^2$ $\mu$

W (X_{1}, \dots, X_{n}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ)^{2}}{n},

$W(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{n},$

2 σ^{4} / n

$2\sigma^4/n$

2 σ^{4} / (n - 1) = Var [T]

$2\sigma^4/(n-1)=\text{Var}[T]$

T

$T$

— user39756
source

Peut-être conviendrez-vous avec moi que T n'est pas non biaisé lorsque mu est connu.

— Michael R. Chernick

@MichaelChernick N'avez-vous pas en général que ?

E [T] = σ^{2}

$E[T]=\sigma^2$

— user39756

Désolé, vous avez raison T a la moyenne de l'échantillon utilisée dans la formule. Je pensais à W.

— Michael R. Chernick

Astuce : avez-vous vérifié si est suffisant dans le cas où

T

$T$

μ

$\mu$ est connu?

— Cardinal

Réponses:

Je pense avoir résolu ma propre question. Les commentaires sur cette réponse et les nouvelles réponses sont les bienvenus.

Si $x_1,\ldots,x_n$ sont des observations dans un $N(\mu,\sigma^2)$ population et $\mu$ est inconnu , alors

F (X_{1}, \dots, X_{n} | μ, σ^{2}) = {(\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}})}^{n} e^{- \frac{n μ^{2}}{2 σ^{2}}} e^{\frac{μ}{σ^{2}} \sum_{je = 1}^{n} X_{je} - \frac{1}{2 σ^{2}} \sum_{je = 1}^{n} X_{je}^{2}}

$f(x_1,\ldots,x_n|\mu,\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{n\mu^2}{2\sigma^2}}e^{\frac{\mu}{\sigma^2}\sum_{i=1}^nx_i-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n x_i^2}$ (cela montre que la famille normale est une famille exponentielle). Comme l'image de la carte

(μ, σ^{2}) \in R \times R^{+} \mapsto (\frac{μ}{σ^{2}}, - \frac{1}{2 σ^{2}})

$(\mu,\sigma^2)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^+\mapsto (\frac{\mu}{\sigma^2},-\frac{1}{2\sigma^2})$ contient un ensemble ouvert de

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ , par un théorème (par exemple, voir page 6 ici ), la statistique

U = (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}, \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2})

$U=(\sum_{i=1}^n X_i,\sum_{i=1}^n X_i^2)$ est suffisant et complet pour

(μ, σ^{2})

$(\mu,\sigma^2)$ . Comme

T

$T$ est fonction de

U

$U$ et est centré pour

σ^{2}

$\sigma^2$ , par Lehmann-Scheffé

T

$T$ est UMVUE pour

σ^{2}

$\sigma^2$ .

Maintenant si $\mu=\mu_0$ est connu , $\mu$ n'appartient plus à l'espace paramétrique, donc la "nouvelle" fonction de densité est

f (x_{1}, \dots, x_{n} | σ^{2}) = {(\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}})}^{n} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - μ_{0})^{2}}

$f(x_1,\ldots,x_n|\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_0)^2}$ (nous avons une nouvelle famille exponentielle). Comme l'image de la carte

σ^{2} \in R^{+} \mapsto - \frac{1}{2 σ^{2}}

$\sigma^2\in\mathbb{R}^+\mapsto -\frac{1}{2\sigma^2}$ contient un sous-ensemble ouvert de

R

$\mathbb{R}$ , notre statistique

W

$W$ est suffisant et complet pour

σ^{2}

$\sigma^2$ . Puisqu'il est en plus centré,

W

$W$ est UMVUE pour

σ^{2}

$\sigma^2$ par Lehmann-Scheffé.

— user39756
source

Dans votre statistique $T(X_{1},\ldots,X_{n})$ , $\bar{X}$ est utilisé comme estimation de $\mu$ . Si vous connaissez la vraie valeur de $\mu$ , puis l'estimateur de la variance $W(X_{1},\ldots,X_{n})$ est préférable. $W$ est sans biais et a une variance inférieure à $T$ . Ainsi, dans le cadre où $\mu$ est connu, utilisez $W$ .

— Ed P
source

je le sais

W

$W$ est préférable, mais j'aimerais comprendre pourquoi

T

$T$ n'est pas terminée lorsque

μ

$\mu$ est connu.

— user39756

Je cherchais le net rafraîchissant ma mémoire sur le théorème de Lehmann-Scheffe et Rao-Blackwell. Je suis d'accord avec le PO que la réponse pourrait être que T n'est pas une statistique suffisante complète lorsque mu est connu. Je pense que peut-être que l'espace des paramètres change.

— Michael R. Chernick