Une entreprise d'électronique produit des appareils qui fonctionnent correctement 95% du temps

Une entreprise d'électronique produit des appareils qui fonctionnent correctement 95% du temps. Les nouveaux appareils sont expédiés en boîtes de 400. La société veut garantir que k ou plusieurs appareils par boîte fonctionnent. Quel est le plus grand k pour qu'au moins 95% des boîtes répondent à la garantie?

Tentative: je sais que je devrais utiliser le théorème de limite centrale pour ce problème, mais je ne sais pas quel N devrait être dans la configuration car il y a 400 périphériques dans chaque boîte et le nombre de boîtes est inconnu. Quelqu'un pourrait-il me donner un indice sur la configuration? Merci!

Vous devez supposer que les appareils dans n'importe quelle boîte sont indépendants. Dans ce cas, le nombre de périphériques en fonctionnement dans une boîte doit suivre une distribution binomiale. Les paramètres sont$400$ (le nombre d'appareils dans la boîte) et $.95$ (le taux de travail).

Supposons que vous garantissiez $k$ou plusieurs appareils par boîte fonctionnent. Vous dites qu'au moins 95% de toutes ces boîtes contiennent$k$ou plusieurs appareils fonctionnels. Dans le langage des variables aléatoires et des distributions, vous affirmez que la chance d'un binôme$(400, 0.95)$ variable égale ou supérieure $k$ Est au moins $95\%$. La solution est trouvée en calculant le$100-95$= cinquième centile de cette distribution. La seule partie délicate est que puisqu'il s'agit d'une distribution discrète, nous devons prendre soin de ne pas en être un dans notre réponse.

R nous dit que le cinquième centile est $k=373$:

qbinom(.05, 400, .95)

373

Vérifions en calculant les chances d'égaler ou de dépasser cette valeur:

pbinom(373-1, 400, .95, lower.tail=FALSE)

0,9520076

(Un peu contre-intuitif, du moins pour moi, c'est que l' lower.tail=FALSEargument de Rla pbinomfonction de n'inclut pas la valeur de son argument. Ainsi, pbinom(k,n,p,lower.tail=FALSE)calcule la chance associée à un résultat strictement supérieur à k.)

En double vérification, confirmons que nous ne pouvons pas garantir une valeur encore plus grande:

pbinom(373, 400, .95, lower.tail=FALSE)

0,9273511

Ainsi, le seuil de $0.95$ se situe entre ces deux probabilités successives.

En d'autres termes, nous avons constaté que

À long terme $95.2\%$ des boîtes contiendront $k=373$ ou plusieurs appareils fonctionnels, mais seulement $92.7\%$ d'entre eux contiendront $374$ou plusieurs appareils fonctionnels. Nous ne devons donc pas garantir plus$373$ Si nous voulons $95\%$ ou plusieurs des boîtes pour répondre à cette norme.

Par ailleurs, une distribution normale se révèle être une excellente approximation pour cette question particulière. (Plutôt que d'afficher la réponse que vous obtiendriez, je vous laisse le soin de faire le calcul, puisque vous n'avez demandé des informations que sur la façon de régler le problème.)

Ce graphique compare la fonction de distribution binomiale à sa probabilité normale d'approximation.

Les deux ne sont pas parfaitement d'accord - mais proches$k=373$ ils sont en effet très proches.

"Au moins" de "au moins 95%" signifie "min".

Code:

#reproducible
set.seed(250048)

#how many times to check
N_repeats <- 500000

#stage for loop
temp <- numeric()

#loop
for (j in 1:N_repeats){

     #draw 400 samples at 95% rate
     y <- rbinom(n = 400,size = 1,prob = 0.95)

     #compute and store sampled rate
     temp[j] <- mean(y)

}

#print summary (includes min)
summary(temp)

Résultats:

> summary(temp)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
 0.8900  0.9425  0.9500  0.9500  0.9575  0.9925

Quand je regarde cela, je vois que la valeur minimale du taux est de 89%. Cela signifie que dans un demi-million d'essais, le pire des cas était de travailler à 89%.

89% de 400 est 356. Cela donne environ 100%, pas 95%. Il est probable que le 100% réel soit inférieur à cela.

#find the 95% case
quantile(temp,probs = 0.05)

rendements:

> quantile(temp,probs = 0.05)
    5% 
0.9325 

93,25% de 400 est 373. Ce n'est pas un bord des données, mais l'intérieur, c'est donc probablement une bonne estimation. Votre réponse sera proche de 373.