Valeur attendue du rapport des variables aléatoires corrélées?

Pour les variables aléatoires indépendantes et , existe-t-il une expression de forme fermée pour $\alpha$ $\beta$

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right]$

en termes de valeurs et de variances attendues de et ? Sinon, y a-t-il une bonne limite inférieure à cette attente? $\alpha$ $\beta$

Mise à jour: je peux aussi mentionner que et . Je peux contrôler la variance sur et , et je pense à un paramètre où les variances de et sont assez petites par rapport à . Peut-être que leurs deux écarts-types sont inférieurs à 0,3. $\mathbb E[\alpha] = 1$ $\mathbb E[\beta] = 0$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\mathbb E[\alpha]$

— Jeff
source

Probablement pas. Avez-vous des formulaires explicites pour ?

α, β

$\alpha,\beta$

— Alex R.

Malheureusement non. J'ai juste des moyennes et des limites supérieures sur leurs variances. Des réflexions sur une borne inférieure analytique sur l'attente? C'est toujours entre 0 et 1. J'ai pensé à faire quelque chose avec l'inégalité de Chebyshev mais je me suis demandé s'il y avait une meilleure façon.

— Jeff

Connaissez-vous la distribution conjointe de et ? Par exemple. Multivariée normale?

α

$\alpha$

β

$\beta$

— Matthew Gunn

Non, je ne peux pas supposer qu'ils sont normaux à plusieurs variables. J'ai juste qu'ils sont indépendants. Je m'attends à ce que chacun soit à peu près normal, mais je ne peux pas compter sur cela. J'ai besoin d'une vraie limite inférieure. Merci d'avoir demandé!

— Jeff

J'ai pensé à une borne inférieure, bien que je ne pense pas que ce soit très serré. Je choisis juste une valeur arbitraire inférieure à la moyenne de $\alpha$ et une autre valeur arbitraire autour de la moyenne de $\beta^2$ . Étant donné que l'espérance est d'une variable aléatoire non négative, et parce que $\alpha$ et $\beta$ sont indépendants,

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) \mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4})$ .

Par l'inégalité de Chebyshev,

$\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) = \mathbb P(\alpha - 1 \ge -\frac{1}{2}) \ge \mathbb P(|\alpha - 1| \le \frac{1}{2}) = 1 - \mathbb P(|\alpha - 1| \ge \frac{1}{2}) \ge 1 - 4\mathrm{var}(\alpha)$

Par l'inégalité de Markov,

$\mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4}) = 1 - \mathbb P(\beta^2 \ge\frac{1}{4}) \ge 1 - 4 \mathbb E[\beta^2] = 1 - 4\mathrm{var}(\beta)$

Donc,

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - 4 * 0.3^2) (1 - 4 * 0.3^2) > 0.28$

Est-ce une façon plus standard / systématique de faire ce que je fais ici, qui se resserre?

— Jeff
source

Je ne crois pas que cette limite inférieure de

0.28

$0.28$ . À titre de contre-exemple, laissez

α

$\alpha$ prendre la valeur

(1 + p) / (1 - p)

$(1+p)/(1-p)$ avec probabilité

1 - p

$1-p$ et

- 1

$-1$ avec probabilité

p

$p$ , donc sa moyenne est

1

$1$ . Laisser

β

$\beta$ être essentiellement nul (par rapport à

| α |

$|\alpha|$ ). alors

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}}

$\alpha/\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$ prend la valeur

- 1

$-1$ avec probabilité

p

$p$ et

1

$1$ avec probabilité

1 - p

$1-p$ , faisant son attente

1 - 2 p

$1-2p$ . Choisir

p \approx 1

$p\approx 1$ montre que l'attente n'est limitée que par

- 1

$-1$ , et c'est la meilleure borne inférieure possible.

— whuber

@whuber - As

p

$p$ passe à 1, la variance de

α

$\alpha$ dans votre contre-exemple aller à l'infini? Mais dans la question, la variance des deux

α

$\alpha$ et

β

$\beta$ sont délimités par

0.3

$0.3$ . Désolé de ne pas avoir écrit cela plus clairement dans la question.

— Jeff

J'ai remarqué un défaut dans ma réponse: j'ai supposé

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}} \geq 0

$\alpha / \sqrt{\alpha ^2 + \beta^2} \ge 0$ mais c'est faux. Plutôt

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}} \geq - 1

$\alpha / \sqrt{\alpha ^2 + \beta^2} \ge -1$ , comme vous le constatez. Je me demande si la réponse peut être corrigée.

— Jeff

Vous pouvez atteindre un minimum de

- σ^{2} (2 + σ^{2})

$-\sigma^2(2+\sigma^2)$ lorsque la variance de

α

$\alpha$ est

σ^{2}

$\sigma^2$ . Pour ce faire,

β

$\beta$ identique à zéro et laissant

α

$\alpha$ prendre deux valeurs: l'une est infinitésimale mais négative, avec probabilité

(1 + σ^{2}) / (2 + σ^{2})

$(1+\sigma^2)/(2+\sigma^2)$ ; l'autre valeur est

2 + σ^{2}

$2+\sigma^2$ .

— whuber

Je pense que cela résout mon problème. Thabks beaucoup. Souhaitez-vous l'afficher en tant que réponse afin que je puisse l'accepter?

— Jeff