Trouver le MLE pour un processus Hawkes exponentiel univarié

Le processus exponentiel univarié de Hawkes est un processus ponctuel auto-excitant avec un taux d'arrivée d'événements de:

$\lambda(t) = \mu + \sum\limits_{t_i<t}{\alpha e^{-\beta(t-t_i)}}$

où sont les heures d'arrivée des événements.$t_1,..t_n$

La fonction de vraisemblance logarithmique est

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum\limits_{i<j}{\ln(\mu+\alpha e^{-\beta(t_j-t_i)})}$

qui peut être calculé récursivement:

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum{\ln(\mu+\alpha R(i))}$

$R(i) = e^{-\beta(t_i-t_{i-1})} (1+R(i-1))$

$R(1) = 0$

Quelles méthodes numériques puis-je utiliser pour trouver le MLE? Quelle est la méthode pratique la plus simple à mettre en œuvre?

L'algorithme simplex Nelder-Mead semble bien fonctionner. Il est implémenté en Java par la bibliothèque Apache Commons Math à https://commons.apache.org/math/ . J'ai également écrit un article sur les processus Hawkes dans les modèles de processus ponctuels pour les données multivariées à haute fréquence et irrégulièrement espacées .

Felix, l'utilisation des transformations exp / log semble assurer la positivité des paramètres. En ce qui concerne la petite chose alpha, recherchez sur arxiv.org un article intitulé "Théorèmes limites pour les processus de hawkes presque instables"

J'ai résolu ce problème en utilisant la bibliothèque nlopt . J'ai trouvé qu'un certain nombre de méthodes ont convergé assez rapidement.

Vous pouvez également effectuer une simple maximisation. Dans R:

neg.loglik <- function(params, data, opt=TRUE) {
  mu <- params[1]
  alpha <- params[2]
  beta <- params[3]
  t <- sort(data)
  r <- rep(0,length(t))
  for(i in 2:length(t)) {
    r[i] <- exp(-beta*(t[i]-t[i-1]))*(1+r[i-1])
  }
  loglik <- -tail(t,1)*mu
  loglik <- loglik+alpha/beta*sum(exp(-beta*(tail(t,1)-t))-1)
  loglik <- loglik+sum(log(mu+alpha*r))
  if(!opt) {
    return(list(negloglik=-loglik, mu=mu, alpha=alpha, beta=beta, t=t,
                r=r))
  }
  else {
    return(-loglik)
  }
}

# insert your values for (mu, alpha, beta) in par
# insert your times for data
opt <- optim(par=c(1,2,3), fn=neg.loglik, data=data)