Est-ce que chaque série non stationnaire est convertible en série stationnaire par différenciation

Est-ce que chaque série chronologique non stationnaire peut être convertie en une série chronologique stationnaire en appliquant une différenciation? De plus, comment décidez-vous de l'ordre de différenciation à appliquer?

Faites-vous simplement une différence avec les intervalles 1,2 ... n, et effectuez à chaque fois un test de racine unitaire de stationnaire pour voir si la série résultante est stationnaire?

time-series stationarity

— Victor
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Réponses:

Non. À titre de contre-exemple, soit une variable aléatoire quelconque et la série temporelle ait la valeur au temps . La différence au temps est une combinaison linéaire $X$ $\exp(t X)$ $t$ $k^\text{th}$ $i=0, 1, 2, \ldots$

Δ^{k} (je) = \sum_{j = 0}^{k} w_{j} \exp ((je + j) X) = \exp (je X) \sum_{j = 0}^{k} w_{j} \exp (j X) = \exp (je X) Δ^{k} (0) .

$\Delta^k(i) = \sum_{j=0}^k w_j \exp((i+j)X) = \exp(iX) \sum_{j=0}^k w_j \exp(jX) = \exp(iX) \Delta^k(0).$

$w_j$ $X$ $k^\text{th}$

— whuber
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Donc, étant donné une série chronologique (linéaire), comment savoir si elle peut jamais être différenciée pour former une série stationnaire?

— Victor

Veuillez expliquer ce que vous entendez par une série chronologique "linéaire". En général, le processus d'ajustement d'un modèle AR revient à estimer la quantité de différenciation nécessaire pour rendre la série stationnaire.

— whuber

Merci ... laissez-moi réfléchir à cela. Je ne sais pas combien je ne sais pas

— Victor

Cela semble être une conséquence du fait que la fonction exponentielle est sa propre dérivée, et cela me suggère immédiatement qu'une série chronologique peut être rendue stationnaire par différenciation répétée si et seulement si la "vraie" fonction qu'elle modélise est un polynôme ( ou, de manière équivalente, son expansion en série Taylor est finie).

— zwol

@zwol C'est un bon aperçu - et c'est pourquoi le contre-exemple exponentiel a été le premier à venir à l'esprit - mais ce n'est qu'une partie de l'histoire. Si l'espérance est une fonction polynomiale du temps, une différenciation suffisante rendra les séries chronologiques de premier ordre stationnaires : c'est-à-dire que les premiers moments des distributions seront invariants dans le temps. Cependant, la différenciation ne rendra pas nécessairement stationnaires les moments supérieurs ou les moments multivariés.

— whuber

La réponse par whuber est correcte; il y a beaucoup de séries chronologiques qui ne peuvent pas être rendues fixes par différenciation. Nonobstant le fait que cela réponde à votre question au sens strict, il peut également être utile de noter qu'au sein de la vaste classe de modèles ARIMA avec bruit blanc, la différenciation peut les transformer en modèles ARMA, et ces derniers sont (asymptotiquement) stationnaires lorsque les racines restantes de le polynôme caractéristique auto-régressif est à l'intérieur du cercle unitaire. Si vous spécifiez une distribution de départ appropriée pour la série observable qui est égale à la distribution stationnaire, vous obtenez un processus de série chronologique strictement stationnaire .

Donc, en règle générale, non, toutes les séries chronologiques ne sont pas convertibles en séries stationnaires par différenciation. Cependant, si vous limitez votre portée à la vaste classe de modèles de séries chronologiques de la classe ARIMA avec bruit blanc et distribution de départ correctement spécifiée (et autres racines AR à l'intérieur du cercle unitaire), alors oui, la différenciation peut être utilisée pour obtenir la stationnarité.

— Ben - Réintègre Monica
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+1 Sans doute, pour certaines (nombreuses?) Applications, c'est une réponse plus utile que la réponse purement théorique que j'ai proposée.

— whuber

Oui - je pense que parfois c'est une question de "Voici la réponse à votre question, et maintenant voici la réponse à une autre question que vous auriez également dû poser."

— Ben - Réintègre Monica