Pourquoi la loi des grands nombres ne s'applique pas dans le cas du prix de l'action Apple?

Voici l'article à l'époque new-yorkaise intitulé "Apple confronte la loi des grands nombres" . Il tente d'expliquer la hausse du prix des actions Apple en utilisant la loi des grands nombres. Quelles erreurs statistiques (ou mathématiques) cet article fait-il?

Voici le hic: Apple est si gros qu'il se heurte à la loi des grands nombres.

Également connu sous le nom de théorème d'or, avec une preuve attribuée au mathématicien suisse Jacob Bernoulli du XVIIe siècle, la loi stipule qu'une variable reviendra à la moyenne sur un large échantillon de résultats. Dans le cas des plus grandes entreprises, cela suggère que la croissance élevée des bénéfices et la hausse rapide du cours de l’action vont ralentir à mesure que ces entreprises grandissent.

Ce fouillis confus renvoie en réalité à trois phénomènes différents!

1. Les lois (diverses) sur les grands nombres sont fondamentales dans la théorie des probabilités pour caractériser des situations dans lesquelles il est raisonnable de s’attendre à ce que de grands échantillons donnent des informations de mieux en mieux sur un processus ou une population échantillonnée. En effet, Jacob Bernoulli a été le premier à reconnaître la nécessité d’énoncer et de prouver un tel théorème, qui est apparu dans son posthume Ars Conjectandi en 1713 (édité par le neveu Nicholas Bernoulli).

   Il n’ya pas d’application valable apparente d’une telle loi à la croissance d’Apple.

2. La régression vers la moyenne a été reconnue par Francis Galton dans les années 1880. Cependant, il a souvent été sous-estimé par les analystes commerciaux. Par exemple, au début de 1933 (au plus profond de la Grande Dépression), Horace Secrist publia son magnum opus, Le triomphe de la médiocrité dans les affaires. Dans celui-ci, il a copieusement examiné les séries chronologiques des affaires et a trouvé, dans chaque cas, des preuves de régression vers la moyenne. Mais, à défaut de reconnaître cela comme une mathématique inéluctablephénomène, il a affirmé avoir découvert une vérité fondamentale du développement des affaires! Cette erreur de confondre un modèle purement mathématique avec le résultat d’une force ou d’une tendance sous-jacente (maintenant souvent appelée "erreur de régression") rappelle le passage cité.

   (Il est à noter que Secrist était un statisticien de premier plan, auteur de l’un des manuels de statistiques les plus populaires publiés à cette époque. Sur JSTOR, vous trouverez un article récapitulatif sur Triumph ... de Harold Hotelling publié dans JASA à la fin de 1933. Dans un échange de lettres ultérieur avec Secrist, écrivait Hotelling

   Ma critique ... visait principalement à avertir les lecteurs de ne pas conclure que les entreprises commerciales avaient tendance à devenir médiocres ... ... "prouver" un résultat aussi mathématique par une étude numérique coûteuse et prolongée ... équivaut à prouver la multiplication table en rangeant les éléphants en rangées et en colonnes, puis en faisant de même pour de nombreux autres types d’animaux. La performance, bien que peut-être divertissante et ayant une certaine valeur pédagogique, n’est un apport important ni à la zoologie ni aux mathématiques.

   [JASA Vol. 29, n ° 186 (juin 1934), pages 198 et 199].)

   Le passage du NY Times semble faire la même erreur avec les données commerciales d’Apple.

3. Cependant, si nous lisons dans l'article, nous découvrons bientôt le sens voulu par l'auteur:

   Si le cours de l' action d'Apple a augmenté encore de 20 pour cent par an pour la prochaine décennie, ce qui est bien inférieur à son rythme actuel de formation d' ampoule, sa $ capitalisation boursière de 500 milliards serait plus de $ 3 billions de dollars à 2022.

   Ceci, bien sûr, est une déclaration d'extrapolation de la croissance exponentielle. En tant que tel, il contient des échos des prévisions démographiques malthusiennes . Les risques d'extrapolation ne se limitent toutefois pas à la croissance exponentielle. Mark Twain (Samuel Clements) a extorqué au pilori des extrapolateurs gratuits dans Life on the Mississippi (1883, chapitre 17):

   Maintenant, si je voulais être un de ces scientifiques pesants et pouvoir dire… ce qui se passera dans le futur lointain avec ce qui s'est passé ces dernières années, quelle opportunité se présente ici! ... S'il vous plaît observer: -

   En l'espace de cent soixante-seize ans, le Mississippi inférieur s'est raccourci de deux cent quarante-deux milles. C'est en moyenne un peu plus d'un mile et un tiers par an. Par conséquent, toute personne calme, qui n’est ni aveugle ni idiote, peut constater que, dans la «vieille période silolitienne oolitique», il ya tout juste un million d’années en novembre dernier, le cours inférieur du Mississippi avait une longueur de plus de un million trois cent mille sur le golfe du Mexique comme une canne à pêche. Et de même, tout le monde peut voir que, dans sept cent quarante-deux ans, le Bas-Mississippi aura seulement un kilomètre et demi de long, et que Le Caire et la Nouvelle-Orléans auront uni leurs rues et marcheront confortablement sous un un maire unique et un conseil d'administration communal d'échevins. La science a quelque chose de fascinant.On obtient de tels résultats de conjectures sur un investissement de fait aussi insignifiant. ”

   (Je souligne.) La satire de Twain se compare avantageusement à la citation de l'article de l'analyste d'affaires Robert Cihra:

   Si vous extrapoliez suffisamment loin dans le futur, pour maintenir cette croissance, Apple devrait vendre un iPhone à chaque homme, femme, enfant, animal et rock de la planète.

   (Malheureusement, il semble que Cihra ne tienne pas compte de son propre conseil: il attribue à cet action un "achat". Il a peut-être raison, pas sur le fond, mais en vertu de la théorie la plus folle du monde .)

Si nous prenons l'article comme signifiant "attention à l'extrapolation de la croissance antérieure dans le futur", nous en tirerons beaucoup. Les investisseurs qui pensent que cette société est un bon achat car son ratio de PE est faible (ce qui inclut plusieurs des gestionnaires de fonds notables cités dans l'article) n'est pas meilleur que le "scientifique lourd" que Twain avait mis au point il y a plus d'un siècle.

Une meilleure connaissance de Bernoulli, Hotelling et Twain aurait amélioré la précision et la lisibilité de cet article, mais au final, il semble avoir bien compris le message.

Avec humour, je viens d’écrire un article sur ce sujet: http://confounding.net/2012/03/12/thats-not-how-the-law-of-large-numbers-works/

Selon la loi des grands nombres, à mesure que le nombre d'essais d'un processus aléatoire augmente, la moyenne de ces essais s'approchera de la moyenne réelle (ou de l'attente, pour des distributions plus complexes). Donc, si vous lancez une pièce de monnaie une fois et que vous obtenez une tête avec une probabilité de 1.0 = une tête, alors que vous lancez de plus en plus de pièces, vous vous rapprocherez de plus en plus de 0,50.

L'auteur affirme que Apple aura des problèmes à l'avenir en raison de quelque chose qui n'est pas du tout lié à la loi des grands nombres. À savoir, à mesure que Apple grandit, le même pourcentage d'augmentation du prix de l'action, des bénéfices, etc. devient plus difficile à atteindre en dollars absolus. Fondamentalement, pour rester sur la bonne voie, Apple doit obtenir de plus en plus de succès.

Relier cela au comportement d'un processus aléatoire convergeant vers un moyen nécessite une gymnastique mentale sérieuse . Autant que je sache, l’affirmation est que "L’impressionnant de vos produits" est un processus aléatoire, et bien que Apple ait eu une série de "Supérieur à la moyenne" géniale, ils devront finalement converger vers un moyen de "Middling ". Mais cela est vraiment charitable pour l'auteur.

Ce n’est pas parce que 500 milliards constituent un chiffre important que la "loi des grands nombres" s’applique.

Il n'y a aucune raison de penser que le cours des actions au fil du temps pour une entreprise donnée représente des variables aléatoires indépendantes et identiques.