Comment puis-je vérifier si deux signaux sont distribués normalement conjointement?

Comme expliqué sur cette page Wikipédia , si deux variables aléatoires X et Y sont non corrélées et distribuées normalement conjointement, elles sont statistiquement indépendantes.

Je sais comment vérifier si X et Y sont corrélés, mais je ne sais pas comment vérifier s'ils sont distribués normalement conjointement. Je ne connais pratiquement aucune statistique (j'ai appris ce qu'est une distribution normale il y a quelques semaines), donc quelques réponses explicatives (et peut-être quelques liens vers des tutoriels) seraient vraiment utiles.

Ma question est donc la suivante: après avoir échantillonné deux signaux un nombre fini de N fois, comment puis-je vérifier si les deux échantillons de signaux sont distribués normalement conjointement?

Par exemple: les images ci-dessous montrent la distribution conjointe estimée de deux signaux, s1 et s2, où:

x=0.2:0.2:34;
s1 = x*sawtooth(x); %Sawtooth
s2 = randn(size(x,2)); %Gaussian

entrez la description de l'image ici

Le pdf commun a été estimé à l'aide de cet estimateur de densité de noyau 2D .

À partir des images, il est facile de voir que le joint pdf a une forme de colline centrée approximativement à l'origine. Je pense que cela indique qu'ils sont en fait normalement distribués conjointement. Cependant, je voudrais un moyen de vérifier mathématiquement. Y a-t-il une sorte de formule qui peut être utilisée?

Je vous remercie.

— Rachel
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Il s'agit d'une simulation où vous commencez avec des signaux qui ne sont pas conjointement normaux par construction , et votre procédure statistique semble montrer que l'on peut être raisonnablement sûr que les signaux sont en fait conjointement normaux. Donc, si vous vérifiez si (a) la méthode statistique était applicable, ou correctement appliquée, ou correctement interprétée, ou (b) votre méthode de génération de signal conduit à des signaux qui sont en fait conjointement normaux même si un cas prima facie ne peut pas être fait pour la normalité conjointe (comme ce serait le cas si s1 = randn(size(x,2));; s2 = randn(size(x,2));??

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Ce serait (b). Je veux un moyen de vérifier si la distribution conjointe est en fait normale.

— Rachel

Réponses:

Outre l'examen graphique, vous pouvez utiliser un test de normalité . Pour les données bivariées, les tests de Mardia sont un bon choix. Ils quantifient la forme de vos distributions de deux manières différentes. Si la forme ne semble pas normale, les tests donnent de faibles valeurs de p.

Les implémentations de Matlab peuvent être trouvées ici .

— MånsT
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Il s'agit davantage d'un commentaire approfondi que d'un effort pour améliorer la suggestion spécifique de @ MånsT: le test statistique n'est généralement pas un test pour déterminer quelle distribution a produit les données mais plutôt celles qui ne l'ont PAS fait. Il y a quelques tests qui sont "ajustés" pour donner des réponses à la question de normalité: N'est-ce PAS d'une distribution normale. Le test à un échantillon de Kolmogorov-Smirnov est assez largement connu. Le test d'Anderson Darling est peut-être plus puissant dans le cas à un D. Vous devriez sérieusement vous demander: POURQUOI la réponse est-elle importante? Souvent, les gens posent la question à des fins statistiques erronées. Votre exemple a démontré que votre test de globe oculaire graphique est de faible puissance par rapport à une alternative composée d'une alternative gaussienne en dents de scie, mais vous n'avez pas montré comment cet échec affecte votre question sous-jacente.

— DWin
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Dans ce cas, l' alternative en dents de scie-gaussienne est en fait vraie puisque c'est ainsi que les données ont été produites, mais le test graphique-globe oculaire suggère que le null (conjointement normal) ne devrait pas être rejeté . La plupart des statisticiens comprennent que le non-rejet du nul n'est pas la même chose que l'acceptation du nul, mais l'OP veut une raison mathématique pour transformer le non-rejet du nul en une étreinte sincère du nul en tant que vérité reçue (le les faits soient maudits).

— Dilip Sarwate

Oui. Le fait que sa tentative de tester sa simulation n’ait pas été correctement rejetée a été compris (comme vous l’avez dit plus tôt). La façon dont on devrait aborder le problème de la faible puissance pour une méthode est au cœur de la pensée statistique et il n'était pas certain qu'il comprenne bien le principe sous-jacent. Mais je n'ai pas conclu qu'il exigeait qu'un test mathématique ratifie son résultat de globe oculaire.

— DWin

@DilipSarwate Si je ne peux pas prouver que la distribution conjointe est normale, je voudrais montrer qu'il y a une bonne probabilité que ce soit le cas. Je ne suis pas un statisticien par aucun effort d'imagination, mais le non-rejet du nul ne serait-il pas au moins une bonne indication?

— Rachel

@DWin Vous avez peut-être raison et je n'ai pas assez bien compris le principe sous-jacent. Comme je l'ai dit, je suis un débutant en statistiques! Je sais que deux variables peuvent en fait être distribuées normalement conjointement et je voudrais juste un moyen de vérifier si cela est vrai (au moins avec un certain niveau de confiance / probabilité). Et PS: juste une petite note - c'est un elle, pas un lui.

— Rachel

@Rachel Ce que vous essayez de "prouver", à savoir. le fait que les deux signaux soient conjointement normaux n'est prima facie pas vrai puisque l'un a été généré comme un signal en dents de scie et l'autre est du bruit gaussien. Mais vous estimez néanmoins qu'ils sont conjointement normaux et que votre test donne des motifs raisonnables de croire. Comme l'a dit la Reine Rouge à Alice, "Parfois, j'ai cru jusqu'à six choses impossibles avant le petit déjeuner." Alors, soyez sûr que votre test graphique / globe oculaire vous permet en fait de conclure avec une certaine confiance que les deux signaux sont en fait conjointement normaux, et procédez immédiatement.

— Dilip Sarwate