Équation pour les facteurs d'inflation de la variance


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Suite à une question posée précédemment, les facteurs d'inflation de la variance (VIF) peuvent être exprimés comme est la version mise à l'échelle de la longueur unitaire de

VIFj=Var(b^j)σ2=[wjwjwjWj(WjWj)1Wjwj]1
WX

Quelqu'un peut-il me montrer comment aller d'ici à l'équation est le coefficient de détermination multiple obtenu en régressant sur les autres variables du régresseur.

VIFj=11Rj2
Rj2xj

J'ai beaucoup de mal à bien faire ces opérations matricielles ...

Réponses:


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Supposons que toutes variables sont normalisées par la transformation de corrélation, comme vous l'avez mentionné, version mise à l'échelle de la longueur unitaire de . Le modèle standardisé ne modifie pas la corrélation entre variables peut être calculé lors de la transformation standardisée du modèle linéaire d'origine. Notons la matrice de conception après transformation standardisée comme Ensuite XXXVIF

X=[1X11X1,p11X21X2,p11Xn1Xn,p1].
XX=[n00rXX],
où est la matrice de corrélation de variables. Nous savons également que pour est le ème terme diagonal de .rXXX
σ2{β^}=σ2(XX)1=σ2[1n00rXX1.]
VIFkk=1,2,,p1krXX1k=1rXXk . Définissons: Notez que les deux matrices sont différentes des matrices de conception. Comme nous ne nous soucions que des coefficients des variables , le vecteur d'une matrice de conception peut être ignoré dans notre calcul. Par conséquent, en utilisant le complément de Schur ,
X(1)=[X12X1,p1X22X2,p1Xn2Xn,p1],X1=[X11X21Xn1].
X1
rXX1(1,1)=(r11r1X(1)rX(1)X(1)1rX(1)1)1=(r11[r1X(1)rX(1)X(1)1]rX(1)X(1)[rX(1)X(1)1rX(1)1])1=(1β1X(1)X(1)X(1)β1X(1))1,
où est les coefficients de régression de sur sauf l'interception. En fait, l'ordonnée à l'origine devrait être l'origine, puisque tous lesβ1X(1)X1X2,,Xp1Xles variables sont normalisées avec une moyenne nulle. D'un autre côté, (ce serait plus simple si nous pouvons tout écrire sous forme de matrice explicite) Par conséquent
R12=SSRSSTO=β1X(1)X(1)X(1)β1X(1)1=β1X(1)X(1)X(1)β1X(1).
VIF1=rXX1(1,1)=11R12.

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