Prouve-le

Pour une variable aléatoire non négative , comment prouver que$X$$E(X^n)^{\frac1n}$ dans$n$?

Écrire $p$ au lieu de $n$ pour le souligner, il peut s'agir de n'importe quel nombre réel positif, plutôt que d'un simple entier comme le suggère "$n$".

Passons en revue quelques transformations préliminaires standard pour simplifier les calculs ultérieurs. Cela ne fait aucune différence dans le résultat à redimensionner$X$. Le résultat est trivial si$X$ est presque partout nul, alors supposez $\mathbb{E}(X)$ est différent de zéro, d'où $\mathbb{E}(X^p)$ est également non nul pour tous $p$. Maintenant, corrigez$p$ et diviser $X$ par $\mathbb{E}(X^p)^{1/p}$ pour que

$$\mathbb{E}(X^p) = 1\tag{1},$$ sans perte de généralité.

Voici comment le raisonnement peut se dérouler lorsque vous essayez de le comprendre la première fois et que vous essayez de ne pas travailler trop dur. Je vous laisserai des justifications détaillées de chaque étape.

L'expression $\mathbb{E}(X^p)^{1/p}$n'est pas décroissant si et seulement si son logarithme est non décroissant. Ce log est différentiable et donc non décroissant si et seulement si sa dérivée n'est pas négative. Exploitant$(1)$ nous pouvons calculer (en différenciant dans l'attente) cette dérivée comme

$$\frac{d}{dp}\log\left( \mathbb{E}(X^p)^{1/p} \right) = -\frac{1}{p^2}\log\mathbb{E}(X^p) + \frac{\mathbb{E}(X^p \log X)}{\mathbb{E}(X^p)} = \frac{1}{p}\mathbb{E}(X^p \log(X^p)).$$

L'écriture $Y=X^p$, le côté droit n'est pas négatif si et seulement si

$$\mathbb{E}(Y\log(Y)) \ge 0.$$ Mais c'est une conséquence immédiate de l'inégalité de Jensen appliquée à la fonction$f(y) = y\log(y)$ (continue sur les réels non négatifs et différenciable sur les réels positifs), car différencier deux fois montre $$f^{\prime\prime}(y) = \frac{1}{y}\gt 0$$ pour $y\gt 0$, d'où $f$ est une fonction convexe sur les réels non négatifs, donnant

$$\mathbb{E}(Y \log Y) = \mathbb{E}(f(Y)) \ge f\left(\mathbb{E}(Y)\right) = f(1) = 0,$$

QED .

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Éditer

Edward Nelson fournit une démonstration merveilleusement succincte. En termes de notation (standard), définissez$||x||_p = \mathbb{E}(|x|^p)^{1/p}$ pour $1 \lt p \lt \infty$ (et $||x||_\infty = \sup |x|$). En observant que la fonction$f(x) = |x|^p$ est convexe, il applique l'inégalité de Jensen pour conclure

$$|\mathbb{E}(x)|^p \le \mathbb{E}(|x|^p).$$

Voici le reste de la démonstration dans ses propres mots:

Appliqué à $|x|$ cela donne

$$||x||_1 \le ||x||_p,$$ et appliqué à $|x|^r$, où $1 \le r \lt \infty$, cela donne $$||x||_r \le ||x||_{rp},$$ pour que $||x||_p$ est une fonction croissante de $p$ pour $1 \le p \le \infty$.

Référence

Edward Nelson, Théorie des probabilités radicalement élémentaire. Princeton University Press (1987): p. 5.