Utilisez pour tester l'hypothèse que parce que le taux de convergence est plus rapide?

Supposons que j'ai sont iid et je veux faire un test d'hypothèse que est 0. Supposons que j'ai un grand n et que je puisse utiliser le théorème de limite centrale. Je pourrais également faire un test que est 0, ce qui devrait être équivalent à tester que est 0. De plus, converge vers un chi carré, où converge vers une normale. Étant donné que a un taux de convergence plus rapide, ne devrais-je pas l'utiliser pour la statistique de test et donc j'obtiendrai un taux de convergence plus rapide et le test sera plus efficace? $X_1,\ldots,X_n$ $\mu$ $\mu^2$ $\mu$ $n(\bar{X}^2 - 0)$ $\sqrt{n}(\bar{X} - 0)$ $\bar{X}^2$

Je sais que cette logique est erronée mais je réfléchis et cherche depuis longtemps et je ne peux pas comprendre pourquoi.

hypothesis-testing convergence delta-method

— Xu Wang
source

Ce que vous demandez n'est pas clair. Pouvez-vous expliquer en quel sens le taux de convergence de est "plus rapide" que celui de ? Comment mesurez-vous le taux? Quelles statistiques de test utilisez-vous dans les deux tests? De toute évidence, ces choix peuvent faire la différence.

{\bar{X}}^{2}

$\bar X^2$

\bar{X}

$\bar X$

— whuber

@whuber merci pour les questions. Je réclame "taux plus rapide" parce que n est plus grand que la racine carrée de n. Cette intuition est-elle incorrecte? J'ai à l'esprit la statistique de test X-bar ou X-bar au carré.

— Xu Wang

Je pense que vous vous concentrez sur la mauvaise chose. Ce taux vous indique la vitesse à laquelle la distribution d'échantillonnage s'approche de la limite - standard Normal ou . Puisque est grand, sa valeur ne fait aucune différence pratique - elle n'est pas pertinente. Le problème concerne la puissance de chaque test, et non le degré d'approximation de la statistique de test à la distribution limite.

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

n

$n$

— whuber

@whuber merci pour ces détails. J'y ai pensé mais je ne comprends toujours pas. La variance approximative de la barre X ^ 2 ne sera-t-elle pas finalement plus petite que la variance approximative de la barre X? Et n'est-ce pas le résultat du fait que la barre X ^ 2 a un taux de convergence plus élevé que la barre X? Je suis désolé de ne pas avoir vu mes malentendus fondamentaux. Je sais qu'il manque quelque chose de grand et j'espère corriger une telle pensée.

— Xu Wang

Peu importe que la variance approximative soit plus grande ou plus petite, car ce qui compte, c'est la distribution de la statistique. Pour voir cela, considérons un test t pour avec vs . La statistique toujours une variance de 100x celle de , mais la normalisation se traduit par les deux statistiques de test réelles distribuées . Dans votre cas, rappelez-vous que la quadrature d'une variable donne une variable . A la limite, cette transformation signifie que les deux tests sont identiques en termes de puissance pour un niveau spécifié.

μ = 0

$\mu = 0$

x \sim N (0, 1)

$x \sim N(0,1)$

y \sim N (0, 10)

$y \sim N(0,10)$

\bar{y}

$\bar{y}$

\bar{x}

$\bar{x}$

t (n - 1)

$t(n-1)$

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2}

$\chi^2$

— jbowman

Les deux tests que vous décrivez sont équivalents.

Si j'ai deux hypothèses:

H_{0} : μ = 0

$H_0: \mu=0$

H_{1} : μ \neq 0

$H_1: \mu\neq0$

alors ils sont équivalents à

H_{0} : μ^{2} = 0

$H_0: \mu^2=0$

H_{1} : μ^{2} > 0.

$H_1: \mu^2\gt 0.$

Si les données sont connues pour être normales, alors la moyenne de l'échantillon sera également normale avec la moyenne et la variance (qui peuvent être connues ou inconnues). $\bar{X}$ $\mu$ $\sigma^2/n$

Si les données ne sont pas connues pour être normales, vous pouvez utiliser le théorème de la limite centrale et ce qui précède sera vrai asymptotiquement. Vous prétendez que convergera vers une variable chi carré "plus vite" que convergera vers une variable normale. Cela est vrai dans le sens où tend vers l'infini, $\bar{X}^2$ $\bar{X}$ $n$

P (| \bar{X} - μ | > | {\bar{X}}^{2} - μ^{2} |) \to 1

$P(|\bar{X} - \mu| > |\bar{X}^2 - \mu^2|) \rightarrow 1$

mais ce n'est pas toute l'histoire. Nous effectuons un test de rapport de vraisemblance , ou au moins approximatif. le rapport sera le même si nous effectuons un test du chi carré ou un test normal. (Rappelons que le carré d'une variable aléatoire normale suit une distribution chi carré.) Si la moyenne de l'échantillon sort au 95e centile de la distribution normale ou t pertinente, alors la somme des carrés sera être égal au 95e centile de la (qui n'est pas le même nombre, mais cela n'a pas d'importance). $\bar{X}$ $\chi^2$

— JDL
source