La convergence vers un gaussien est en effet un phénomène général.
Supposons que sont des variables aléatoires IID avec la moyenne et la variance , et définissez les sommes . Fixez un nombre . Le théorème central limite habituel nous dit que as , où est le cdf normal standard. Cependant, la continuité du cdf limitant implique que nous avons égalementμ > 0 σ 2 Y n = ∑ n i = 1 X i α P ( Y n - n μX1, X2, X3, . . .μ > 0σ2Ouin= ∑ni = 1Xjeαn→∞ΦP(Yn-nμP( Yn- n μσn√≤ α ) → Φ ( α )n → ∞ΦP
P( Yn- n μσn--√≤ α + α2σ24 μ σn--√) →Φ(α)
parce que le terme supplémentaire sur le côté droit de l'inégalité tend vers zéro. Réorganiser cette expression conduit à
P( Yn≤ ( α σ2 μ--√+ n μ---√)2) →Φ(α)
En prenant des racines carrées et en notant que implique que , nous obtenons En d'autres termes, . Ce résultat démontre la convergence vers un gaussien dans la limite comme .P ( Y n < 0 )μ > 0P ( √P( Yn< 0 ) → 0√
P( | Yn|---√≤ α σ2 μ--√+ n μ---√) →Φ(α)
| Ouin|√- n μ√σ/ 2 μ√→réN( 0 , 1 )n → ∞
Est-ce à dire que est une bonne approximation de pour un grand ? Eh bien, nous pouvons faire mieux que cela. Comme le note @Henry, en supposant que tout est positif, nous pouvons utiliser , avec et l'approximation , pour obtenir l'approximation améliorée comme indiqué dans la question ci-dessus. Notez également que nous avons toujours carn μ---√nE[ | Ouin|---√]nE[Yn]=nμE[ Ouin--√] = E[ Ouin] - Var ( Yn--√)---------------√E[ Ouin] = n μVar ( Yn--√) ≈ σ24 μE[ | Ouin|---√] ≈ n μ - σ24 μ-------√
| Ouin|---√- n μ -σ24 μ-------√σ/ 2 μ--√→réN( 0 , 1 )
n μ - σ24 μ-------√- n μ---√→ 0 comme .
n → ∞