Si

J'ai vu ce qui suit dans un manuel et j'ai du mal à comprendre le concept. Je comprends que est normalement distribué avec E ( ) = 0 et Var ( ) = .$X_n$$X_n$$X_n$$\frac{1}{n}$

Cependant, je ne comprends pas pourquoi la multiplication de par le rendrait normal.$X_n$$\sqrt n$

Parce que la variance est un moment de second ordre , lié à la quadrature, un facteur est donc carré.

Plus précisément, puisque l'attente est une opération linéaire, en général, si vous avez un centre $d$- moment de la commande (le vôtre est un $2$-ordre moment):

$$\mu_{d}(X)=\operatorname {E} \left[X^{d}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{d}\,dF(x)\,$$ multiplier $X$ par une constante entraîne l'obtention de cette constante en dehors de l'intégrale, affectée par la puissance $d$ (tant que l'intégrale est correctement définie):

$$\mu_{d}(aX) = a^d \mu_{d}(X)\,.$$

Donc, si vous multipliez $X$ par $\sqrt{n}$, la variance (puissance de deux moments) de $X$ est multiplié par $(\sqrt{n})^2$.

La moyenne est un moment de premier ordre, vous devez donc le multiplier par $\sqrt{n}$et tel quel $0$ pour $X$, la variable résultante a toujours une moyenne nulle.

Supposer $X\sim N(\mu, \sigma^{2})$. Alors,

$$\begin{eqnarray*} X-\mu &\sim& N(0, \sigma^{2})\\ \frac{X-\mu}{\sigma}&\sim&N(0,1). \end{eqnarray*}$$ De même, si $X_{1},X_{2},\cdots X_{n}$ est un échantillon aléatoire de $N(\mu,\sigma^{2})$, puis la moyenne de l'échantillon, $$\begin{eqnarray*} \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}&\sim & N\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\\ \bar{X}-\mu &\sim& N\left(0,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\\ \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma}&\sim&N(0,1) \end{eqnarray*}$$