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Soit $a_t$ et $b_t$ des processus de bruit blanc. Peut-on dire que $c_t=a_t+b_t$ est nécessairement un processus de bruit blanc?

time-series econometrics white-noise

— Ben Rothwell
source

1

Quel genre de bruit blanc ..?

— Tim

15

Quelle est votre définition du bruit blanc?

— Glen_b -Reinstate Monica

Parlez-vous de bruit blanc gaussien ou de bruit blanc?

— Mehrdad

1

Soit

b_{t} = - a_{t}

$b_t = -a_t$ . Est-ce que

b_{t}

$b_t$ un processus de bruit blanc? Est-ce que

b_{t} + a_{t}

$b_t + a_t$ ?

— user253751

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Non, vous en avez besoin de plus (du moins selon la définition de Hayashi du bruit blanc). Par exemple, la somme de deux processus de bruit blanc indépendants est un bruit blanc.

Pourquoi bruit blanc et insuffisant pour soit un bruit blanc? $a_t$ $b_t$ $a_t+b_t$

D'après l' économétrie de Hayashi , un processus stationnaire de covariance est défini comme étant du bruit blanc si et pour . $\{z_t\}$ $\mathrm{E}[z_t] = 0$ $\mathrm{Cov}\left(z_t, z_{t-j} \right) = 0$ $j \neq 0$

Soit et des processus de bruit blanc. Définissez . Trivialement, nous avons . Vérification de la condition de covariance: $\{a_t\}$ $\{b_t\}$ $c_t = a_t + b_t$ $\mathrm{E}[c_t] = 0$

Appliquer queet

\begin{aligned} C o v (c_{t}, c_{t - j}) & = C o v (a_{t}, a_{t - j}) + C o v (a_{t}, b_{t - j}) + C o v (b_{t}, a_{t - j}) + C o v (b_{t}, b_{t - j}) \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{Cov} \left( c_t, c_{t-j} \right) &= \mathrm{Cov} \left( a_t, a_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( a_t, b_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( b_t, a_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( b_t, b_{t-j}\right) \end{align*}$

{a_{t}}

$\{a_t\}$

sont des bruits blancs:

{b_{t}}

$\{b_t\}$

\begin{aligned} C o v (c_{t}, c_{t - j}) & = C o v (a_{t}, b_{t - j}) + C o v (b_{t}, a_{t - j}) \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{Cov} \left( c_t, c_{t-j} \right) &= \mathrm{Cov} \left( a_t, b_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( b_t, a_{t-j}\right) \end{align*}$

Donc, si est du bruit blanc, cela dépend si pour tout . $\{c_t\}$ $\mathrm{Cov} \left( a_t, b_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( b_t, a_{t-j}\right) = 0$ $j\neq 0$

Exemple où la somme de deux processus de bruit blanc n'est pas du bruit blanc:

Soit un bruit blanc. Soit . Observez que le processus est également un bruit blanc. Soit , donc , et observons que le processus n'est pas du bruit blanc. $\{a_t\}$ $b_t = a_{t-1}$ $\{b_t\}$ $c_t = a_t + b_t$ $c_t = a_t + a_{t-1}$ $\{c_t\}$

— Matthew Gunn
source

Commentaire à Matthew (ajouter un lien de commentaire ne fonctionne pas pour moi): selon des définitions plus rigoureuses plus couramment utilisées du bruit blanc, même l'ajout de deux sources de bruit blanc indépendantes ne produira pas de vrai bruit blanc, car les amplitudes ne sont plus uniformes mais enveloppé.

2

J'aimerais voir d'autres définitions non économétriques et non économiques du bruit blanc. C'est un terme qui est souvent utilisé, et je ne sais pas comment il est utilisé dans d'autres domaines (ou même dans d'autres définitions utilisées en finance / économie).

— Matthew Gunn

Autre exemple: Soit

puis

pour tout

donc pas de bruit blanc. @MatthewGunn Je dirais que la définition en finance serait la même mais je n'ai pas de source.

d_{t} = - a_{t}

$d_t = -a_t$

a_{t} + b_{t} = 0

$a_t + b_t = 0$

t

$t$

— Bob Jansen

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Encore plus simple que la réponse de @ MatthewGunn,

Considérons . Évidemment, n'est pas un bruit blanc - il serait difficile de l'appeler tout type de bruit. $b_t = -a_t$ $c_t \equiv 0$

Le point le plus large est que si nous ne savons rien de la distribution conjointe de et , nous ne serons pas en mesure de dire ce qui se passe lorsque nous essayons d'examiner des objets qui dépendent des deux. La structure de covariance est essentielle à cette fin. $a_t$ $b_t$

Addenda:

Bien sûr, c'est exactement le but des écouteurs antibruit! - pour inverser la fréquence des bruits extérieurs et les annuler - donc, pour revenir à la définition physique du bruit blanc, cette séquence est un silence littéral . Pas de bruit du tout.

— MichaelChirico
source

0 est un bruit blanc parfaitement fin.

— Stig Hemmer

4

j = 0

$j = 0$

Cov (c_{t}, c_{t - j}) = Var (c_{t}) = σ^{2} > 0

$\operatorname{Cov}(c_t,c_{t-j}) = \operatorname{Var}(c_t) = \sigma^2>0$

5

Objection retirée.

— Stig Hemmer du

1

@StigHemmer see edit - c'est en fait une définition très naturelle pour que 0 ne soit pas du bruit blanc (en fait c'est plutôt le contraire, selon la définition commune - nous pouvons prédire exactement la valeur de la séquence en fonction de n'importe quelle valeur passée)

— MichaelChirico

2

En électronique, le bruit blanc est défini comme ayant un spectre de fréquence plat («blanc») et aléatoire («bruit»). Le bruit peut généralement être contrasté avec une `` interférence '', un ou plusieurs signaux indésirables captés ailleurs et ajoutés au signal d'intérêt, et une `` distorsion '', des signaux indésirables générés par des processus non linéaires agissant sur le signal d'intérêt lui-même.

Bien qu'il soit possible que deux signaux différents aient des parties corrélées, et donc s'annulent différemment à différentes fréquences ou à des moments différents, par exemple en annulant complètement sur une certaine bande de fréquences ou pendant un certain intervalle de temps, mais sans annuler, ni même ajouter de façon constructive sur une autre bande de fréquences ou pendant un certain intervalle de temps, la corrélation entre les deux signaux suppose une corrélation, qui est exclue par l'aspect vraisemblablement aléatoire du `` bruit '', ce qui a été demandé.

Si, en effet, les signaux sont du «bruit» et donc indépendants et aléatoires, alors aucune corrélation de ce type ne devrait / n'existerait, de sorte que leur addition aura également un spectre de fréquences plat et sera donc également blanche.

De plus, de manière triviale, si les bruits sont exactement anti-corrélés, ils pourraient alors annuler pour donner une sortie nulle à tout moment, qui a également un spectre de fréquences plat, une puissance nulle à toutes les fréquences, ce qui pourrait tomber sous une sorte de définition dégénérée du blanc le bruit, sauf qu'il n'est pas aléatoire et peut être parfaitement prévu.

Le bruit dans l'électronique peut provenir de plusieurs endroits. Par exemple, le bruit de grenaille, résultant de l'arrivée aléatoire d'électrons dans un photocourant (provenant des heures d'arrivée aléatoire des photons), et le bruit de Johnson, provenant du mouvement brownien des électrons dans un élément résistif plus chaud que le zéro absolu, produisent tous deux du blanc le bruit, cependant, toujours avec une largeur de bande finie aux deux extrémités du spectre dans tout système réel mesuré sur une durée finie.

— btiemann
source

-2

si les deux sons blancs se déplacent dans la même direction Et si leur fréquence est en phase, alors seulement ils sont ajoutés. Mais, une chose dont je ne suis pas sûr, c'est qu'après l'addition, il restera sous forme de bruit blanc ou il deviendra un autre type de son ayant une fréquence différente.

— abc123
source

1

Il me semble que vous pourriez penser au bruit physique plutôt que statistiquement? Je ne suis pas sûr que cette réponse ajoute beaucoup - par exemple, comment le bruit blanc peut-il avoir une seule fréquence à faire correspondre? Essayez de regarder un spectrogramme de bruit blanc.

— Silverfish

2

(Cependant, cela semble être une tentative de répondre à la question, les examinateurs devraient donc envisager de voter en aval au lieu de la supprimer.)

— Silverfish

La somme de deux signaux de bruit blanc sera du bruit blanc s'il s'agit de bruit non corrélé . Je suis également venu ici à partir de la liste des questions de Hot Network, sans remarquer sur quel site il se trouvait. Je m'attends à ce que la définition statistique du bruit blanc soit équivalente à la définition du traitement du signal. À propos de votre pensée que les deux bruits s'ajouteront de temps en temps - oui, ils le feront, mais seulement à certains endroits (aléatoires). Dans d'autres endroits, ils soustraireont. Cela n'empêche pas le résultat d'être également un bruit blanc.

— Rétablir Monica

@Justin, "The sum of two white noise signals will be white noise if they are uncorrelated noise." - I may be misunderstanding what you mean by "if they are uncorrelated", but under my interpretation your conclusion is wrong. If

a_{t}

$a_t$ is white noise and

b_{t} = a_{t - 1}

$b_t = a_{t-1}$ (Matthew Gunn's example) then both

a_{t}

$a_t$ and

b_{t}

$b_t$ are white noise, and

c o r (a_{t}, b_{t}) = 0

${\rm cor}(a_t, b_t) = 0$ for every

t

$t$ . Yet,

c_{t} = a_{t} + b_{t}

$c_t = a_t + b_t$ is not white noise.

— not_bonferroni

@not_bonferroni - Yes, I suppose I was using incorrectly "uncorrelated" to mean "independent".

— Reinstate Monica

La somme de deux processus de bruit blanc est-elle nécessairement un bruit blanc?

Pourquoi bruit blanc t et b t est-il insuffisant pour qu'un t + b t soit un bruit blanc?atata_tbtbtb_tat+btat+bta_t+b_t

Exemple où la somme de deux processus de bruit blanc n'est pas du bruit blanc:

Addenda:

Pourquoi bruit blanc et insuffisant pour soit un bruit blanc? $a_t$ $b_t$ $a_t+b_t$