Quelle est la formule de la valeur de p ajustée de Benjamini-Hochberg?

Je comprends la procédure et ce qu'elle contrôle. Quelle est donc la formule de la valeur de p ajustée dans la procédure BH pour les comparaisons multiples?

Tout à l'heure, j'ai réalisé que le BH d'origine ne produisait pas de valeurs de p ajustées, mais seulement la condition de (non) rejet: https://www.jstor.org/stable/2346101 . Gordon Smyth a introduit des valeurs p BH ajustées en 2002 de toute façon, donc la question reste d'actualité. Il est implémenté en R comme p.adjustavec la méthode BH.

Le célèbre article de Benjamini & Hochberg (1995) décrit la procédure d'acceptation / rejet d'hypothèses basée sur l'ajustement des niveaux alpha. Cette procédure a une reformulation équivalente simple en termes de valeurs $p$ ajustées , mais elle n'a pas été discutée dans le document original. Selon Gordon Smyth , il a introduit des valeurs de $p$ ajustées en 2002 lors de la mise p.adjusten œuvre dans R. Malheureusement, il n'y a pas de citation correspondante, donc il n'a toujours pas été clair pour moi ce que l'on devrait citer si l'on utilise p ajusté en BH$p$ valeurs de .

Il s'avère que la procédure est décrite dans Benjamini, Heller, Yekutieli (2009) :

Une autre façon de présenter les résultats de cette procédure consiste à présenter les valeurs $p$ ajustées . Les valeurs de $p$ ajustées par BH sont définies comme

$$p^\mathrm{BH}_{(i)} = \min\Big\{\min_{j\ge i}\big\{\frac{mp_{(j)}}{j}\big\},1\Big\}.$$

Cette formule semble plus compliquée qu'elle ne l'est vraiment. Ça dit:

1. Tout d'abord, commandez toutes les valeurs $p$ de petite à grande. Multipliez ensuite chaque valeur $p$ par le nombre total de tests $m$ et divisez-la par son ordre de classement.
2. Deuxièmement, assurez-vous que la séquence résultante n'est pas décroissante: si jamais elle commence à décroître, faites le p précédent$p$ égale à la suivante (à plusieurs reprises, jusqu'à ce que la séquence entière devienne non décroissante).
3. Si une valeur $p$ finit par être supérieure à 1, rendez-la égale à 1.

Il s'agit d'une reformulation simple de la procédure BH originale de 1995. Il pourrait exister un document antérieur qui introduisait explicitement le concept de valeurs $p$ ajustées BH , mais je n'en connais pas.

Mise à jour. @Zenit a constaté que Yekutieli et Benjamini (1999) décrivaient la même chose déjà en 1999:

$p_0$$p$$z_0$$N_0$$\le$ $p_0$$N$

• $\text{FDR }(p_0) = \frac{\quad p_0 \quad }{\frac{N_0}{N}}$

• $\text{FDR }(p_i) = \min (\text{FDR}(p_i), \text{FDR}(p_{i+1}))$

Maintenant, comprenons cela. L'idée sous-jacente (bayésienne) est que les observations proviennent d'un mélange de deux distributions:

• $\pi_0 \: N$$f_0(z)$
• $(1-\pi_0) \: N$$f_1(z)$

Ce qui est observé est le mélange de ces deux:

• $f(z) = \pi_0 \cdot f_0(z) + (1-\pi_0) \cdot f_1(z)$

Les définitions (bayésiennes) sont:

• $\text{Fdr} = \frac{\pi_0 \: (1-F_0(z_0))}{(1-F(z))}$
• $\text{fdr} = \frac{\pi_0 \: f_0(z_0)}{f(z)}$ (une fraction des densités de queue)

Comme indiqué ci-dessous, Fdr est équivalent au Benjamini hocherg FDR lorsque $\pi_0 \approx 1$ (ce qui est le cas dans la plupart des études bioinformatiques)

(Basé sur l' inférence statistique de l'ère informatique d' Efron et Tibshirani )