Quelle est la distribution des moyennes d'échantillonnage d'une distribution de Cauchy?

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Typiquement, lorsque l'on prend des moyennes d'échantillons aléatoires d'une distribution (avec une taille d'échantillon supérieure à 30), on obtient une distribution normale centrée autour de la valeur moyenne. Cependant, j'ai entendu dire que la distribution de Cauchy n'a pas de valeur moyenne. Quelle distribution obtient-on alors en obtenant des moyennes d'échantillonnage de la distribution de Cauchy?

Fondamentalement, pour une distribution de Cauchy, n'est pas défini, alors quelle est et quelle est la distribution de ? $\mu_x$ $\mu_{\bar{x}}$ $\bar{x}$

cauchy

— Steven Stewart-Gallus
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De la page Wikipedia , il semble que la moyenne de l'échantillon des variables iid Cauchy aurait la même distribution que les échantillons eux-mêmes.

— GeoMatt22

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Si sont iid Cauchy alors nous pouvons montrer que est également Cauchy utilisant un argument de fonction caractéristique: $X_1, \ldots, X_n$ $(0, 1)$ $\bar{X}$ $(0, 1)$

\begin{aligned} φ_{\bar{X}} (t) & = E (e^{je t \bar{X}}) \\ = E (\prod_{j = 1}^{n} e^{je t X_{j} / n}) \\ = \prod_{j = 1}^{n} E (e^{je t X_{j} / n}) \\ = E {(e^{je t X_{1} / n})}^{n} \\ = e^{- | t |} \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_{\bar{X}}(t) &= \text{E} \left (e^{it \bar{X}} \right ) \\ &= \text{E} \left ( \prod_{j=1}^{n} e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \prod_{j=1}^{n} \text{E} \left ( e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \text{E} \left (e^{it X_1 / n} \right )^n \\ &= e^{- |t|} \end{align}$

qui est la fonction caractéristique de la distribution standard de Cauchy. La preuve du cas plus général de Cauchy est fondamentalement identique. $(\mu, \sigma)$

— dsaxton
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Pour aider ceux qui pourraient avoir de la difficulté à connecter certains détails, l'étape de la deuxième à la troisième ligne utilise l'indépendance, la suivante utilise la «distribution identique», la suivante peut être effectuée de plusieurs manières, mais la plus simple est de voir que l'attente à l'intérieur de la puissance est la même intégrale que celle d'un Cauchy cf mais en , donc (si vous connaissez déjà le cf pour un Cauchy) vous obtenez puis ce qui porte le ième puissance vers le bas les termes annulent.

t / n

$t/n$

[e^{- | t / n |}]^{n}

$[e^{-|t/n|}]^n$

n

$n$

n

$n$

— Glen_b -Reinstate Monica

J'ai aimé que l'autre réponse explique également que cela signifie qu'il s'agit d'une distribution stable .

— Apollys prend en charge Monica

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Typiquement, lorsque l'on prend des moyennes d'échantillons aléatoires d'une distribution (avec une taille d'échantillon supérieure à 30), on obtient une distribution normale centrée autour de la valeur moyenne.

$X_n$ $μ$ $\sqrt{n}[(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n - μ]$ $n$

Cependant, j'ai entendu dire que la distribution de Cauchy n'a pas de valeur moyenne. Quelle distribution obtient-on alors en obtenant des moyennes d'échantillonnage de la distribution de Cauchy?

Comme l'a dit GeoMatt22, les moyennes des échantillons seront elles-mêmes distribuées par Cauchy. En d'autres termes, la distribution de Cauchy est une distribution stable .

Notez que le théorème central limite ne s'applique pas aux variables aléatoires distribuées de Cauchy car elles n'ont pas de moyenne et de variance finies.

— Kodiologue
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Mon commentaire était censé être un peu plus fort que «la moyenne de l'échantillon est également Cauchy», car la moyenne de l'échantillon aura les mêmes paramètres . Autrement dit, comme pour une distribution normale, le paramètre d'emplacement sera le même, mais contrairement au cas normal, le paramètre d' échelle sera également le même (alors que dans le cas normal, l'échelle diminue comme ) . C'est du moins mon interprétation des 2 premières propriétés de transformation répertoriées sur mon lien.

1 / \sqrt{N}

$1/\sqrt{N}$

— GeoMatt22

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Vous avez dit: " la moyenne de l'échantillon des n premiers éléments converge en distribution vers une distribution normale quand n va à l'infini " ... pas exactement. Dans des conditions plus faibles que celles dont vous avez besoin pour le CLT, la moyenne elle-même converge vers la constante (par la loi faible des grands nombres). Vous devez standardiser la moyenne pour obtenir la convergence vers une distribution normale.

μ

$\mu$

— Glen_b -Reinstate Monica

@DilipSarwate corrigé. N'oubliez pas que vous pouvez modifier les réponses des autres.

— Kodiologist