Quelles sont les propriétés d'une distribution à moitié de Cauchy?

Je travaille actuellement sur un problème, où j'ai besoin de développer un algorithme de chaîne de Markov Monte Carlo (MCMC) pour un modèle d'espace d'état.

Pour pouvoir résoudre le problème, on m'a donné la probabilité suivante de : p ( ) = 2I ( > 0) / (1+ ). étant l'écart type de . $\tau$ $\tau$ $\tau$ $\tau^2$ $\tau$ $x$

Alors maintenant je sais que c'est une distribution à moitié de Cauchy, parce que je la reconnais en voyant des exemples et, parce qu'on me l'a dit. Mais je ne comprends pas bien pourquoi c'est une distribution "Half-Cauchy" et quelles propriétés vont avec.

En termes de propriétés, je ne sais pas trop ce que je veux. Je suis assez nouveau dans ce type de théorie économétrique. C'est donc plus pour moi de comprendre la distribution et comment nous l'utilisons dans un contexte de modèle d'espace d'état. Le modèle lui-même ressemble à ceci:

\begin{aligned} y_{t} & = X_{t} + e_{t} \\ X_{t + 1} & = X_{t} + {une}_{t + 1} \\ {une}_{t + 1} & \sim N (0, τ^{2}) \\ p (σ^{2}) & \propto 1 / σ^{2} \\ p (τ) & = \frac{2 je (τ > 0)}{π (1 + τ^{2})} \end{aligned}

$\begin{align} y_t &= x_t + e_t \\ x_{t+1} &= x_t + a_{t+1} \\[10pt] a_{t+1} &\sim ~ N(0, \tau^2) \\ p(\sigma^2) &\propto 1/\sigma^2 \\[3pt] p(\tau) &= \frac{2I(\tau>0)}{\pi(1+\tau^2)} \end{align}$

Edit: j'ai inclus dans p ( ). Merci de l'avoir signalé. $\pi$ $\tau$

— Christoph
source

Veuillez indiquer les propriétés qui vous intéressent: après tout, il y en a une infinité que l'on pourrait décrire.

— whuber

Les demi-distributions des distributions symétriques ont deux fois la hauteur fonctionnelle de l'aire pour leur plage, laquelle plage est une demi-plage, commençant souvent mais pas nécessairement à zéro .

x \geq 0

$x\geq 0$

— Carl

Un demi-Cauchy est l'une des moitiés symétriques de la distribution de Cauchy (si non spécifié, c'est la moitié droite qui est prévue):

Puisque l'aire de la moitié droite d'un Cauchy est la densité doit alors être doublée. D'où le 2 dans votre pdf (bien qu'il manque un comme indiqué dans les commentaires). $\frac12$ $\frac{1}{\pi}$

Le demi-Cauchy a de nombreuses propriétés; certaines sont des propriétés utiles que nous pourrions souhaiter dans un précédent.

Un choix commun pour un a priori sur un paramètre d'échelle est le gamma inverse (notamment, car il est conjugué pour certains cas familiers). Lorsqu'un a priori faiblement informatif est souhaité, de très petites valeurs de paramètres sont utilisées.

Le demi-Cauchy est assez lourd et il peut également être considéré comme assez faiblement informatif dans certaines situations. Gelman ([1] par exemple) plaide en faveur de demi-t aiors (y compris le demi-Cauchy) sur le gamma inverse car ils ont un meilleur comportement pour les petites valeurs de paramètre, mais ne le considère comme informatif que lorsqu'un paramètre à grande échelle est utilisé *. Gelman s'est davantage concentré sur le demi-Cauchy ces dernières années. L'article de Polson et Scott [2] donne des raisons supplémentaires de choisir le demi-Cauchy en particulier.

* Votre message montre un demi-Cauchy standard. Gelman ne choisirait probablement pas cela pour un précédent. Si vous n'avez aucun sens de l'échelle, cela correspond à dire que l'échelle est aussi susceptible d'être supérieure à 1 que inférieure à 1 (ce qui peut être ce que vous voulez), mais elle ne cadrerait pas avec certaines des choses que Gelman soutient pour.

[1] A. Gelman (2006),
«Distributions antérieures des paramètres de variance dans les modèles hiérarchiques»,
Bayesian Analysis , vol. 1, N. 3, pp. 515–533
http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/taumain.pdf

[2] NG Polson et JG Scott (2012),
«On the Half-Cauchy Prior for a Global Scale Parameter»
Bayesian Analysis , Vol. 7, n ° 4, pp. 887-902
https://projecteuclid.org/euclid.ba/1354024466

— Glen_b -Reinstate Monica
source

1 / π

$1/\pi$

@Glen_b, quelle est la position dans le demi-Cauchy dans votre réponse?

— rnorouzian

@morouzian à quelle mesure de localisation êtes-vous intéressé? Considéré comme un membre d'une famille à l'échelle de l'emplacement, le formulaire standard en discussion a un emplacement de 0 et une échelle de 1, mais je ne sais pas si c'est ce que vous demandez. (Sa médiane est 1, comme suggéré vers la fin de ma réponse, si cela peut aider.)

— Glen_b -Reinstate Monica