Si j'ai la valeur attendue du logarithme d'un VR, puis-je obtenir la valeur attendue du VR lui-même?

Supposons que soit donné, puis-je dériver dans un format de formulaire fermé? $\text{E}[\log(X)]$ $\text{E}[X]$

expected-value logarithm

— Theoden
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Connaissez-vous la distribution de log x ou x? Par exemple. est-il normalement distribué? Dans le cas le plus général avec suivant une distribution arbitraire, vous ne pourrez pas en dire beaucoup.

x

$x$

x

$x$

— Matthew Gunn

Non. Seule la valeur moyenne du log (x) est donnée.

— Theoden

Presque tout ce que vous pouvez dire est que raison de l'inégalité de Jensen .

E [\log (x)] \leq \log (E [x])

$\mathrm{E}[\log(x)] \leq \log \left( \mathrm{E}[x] \right)$

— Matthew Gunn

Non.

Par exemple, si suit une distribution log normale, où , alors et est indépendant de . Cependant, sa moyenne est . De toute évidence, vous ne pouvez pas déduire une nombre dépendant d'un numéro indépendant. $X$ $\log(X) \sim N(\mu,\sigma)$ $E[\log(x)] = \mu$ $\sigma$ $E[X] = \exp \left(\mu + \frac{\sigma^2}{2} \right)$ $\sigma$ $\sigma$

— jwimberley
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Ca a du sens. J'ai besoin de plus d'informations alors.

— Theoden

Ou pour un exemple super simple, considérons les variables aléatoires discrètes X (prenant la valeur 1 avec probabilité 1/3 et 10 avec probabilité 2/3), et Y (prenant la valeur 1 avec probabilité 2/3 et 100 avec probabilité 1/3) . Alors E [log X] = E [log Y] = 1/3 (ou un autre nombre si vous préférez que vos logarithmes soient pris sur une base plus sensible que 10, mais toujours égaux puisque dans n'importe quelle base log 100 = 2 log 10). Cependant E [X]! = E [Y].

— Steve Jessop