Si j'ai la valeur attendue du logarithme d'un VR, puis-je obtenir la valeur attendue du VR lui-même?


9

Supposons que soit donné, puis-je dériver dans un format de formulaire fermé? E[log(X)]E[X]


Connaissez-vous la distribution de log x ou x? Par exemple. est-il normalement distribué? Dans le cas le plus général avec suivant une distribution arbitraire, vous ne pourrez pas en dire beaucoup. xXX
Matthew Gunn

Non. Seule la valeur moyenne du log (x) est donnée.
Theoden

10
Presque tout ce que vous pouvez dire est que raison de l'inégalité de Jensen . E[Journal(X)]Journal(E[X])
Matthew Gunn

Réponses:


15

Non.

Par exemple, si suit une distribution log normale, où , alors et est indépendant de . Cependant, sa moyenne est . De toute évidence, vous ne pouvez pas déduire une nombre dépendant d'un numéro indépendant.log ( X ) N ( μ , σ ) E [ log ( x ) ] = μ σ E [ X ] = exp ( μ + σ 2XJournal(X)N(μ,σ)E[Journal(X)]=μσσσE[X]=exp(μ+σ22)σσ


Ca a du sens. J'ai besoin de plus d'informations alors.
Theoden

4
Ou pour un exemple super simple, considérons les variables aléatoires discrètes X (prenant la valeur 1 avec probabilité 1/3 et 10 avec probabilité 2/3), et Y (prenant la valeur 1 avec probabilité 2/3 et 100 avec probabilité 1/3) . Alors E [log X] = E [log Y] = 1/3 (ou un autre nombre si vous préférez que vos logarithmes soient pris sur une base plus sensible que 10, mais toujours égaux puisque dans n'importe quelle base log 100 = 2 log 10). Cependant E [X]! = E [Y].
Steve Jessop
En utilisant notre site, vous reconnaissez avoir lu et compris notre politique liée aux cookies et notre politique de confidentialité.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.