Pourquoi , mais ?

Sur cette page centrale AP Variables aléatoires vs Variables algébriques , l'auteur, Peter Flanagan-Hyde établit une distinction entre les variables algébriques et aléatoires.

Il dit en partie

$x + x = 2x$ , mais $X + X \neq 2X$

- en fait c'est le sous-titre de l'article.

Quelle est la différence fondamentale entre une variable algébrique et une variable aléatoire?

Donc, abordons d'abord cette question: `` Quelle est la différence fondamentale entre une variable algébrique et une variable aléatoire? ''

Une variable aléatoire n'est pas du tout une variable algébrique. Formellement, elle est définie comme une fonction à partir d' un espace de probabilité Ω à R .$X$$\Omega$$\mathbb R$

OK ... Ce que cela signifie vraiment, c'est que vous effectuez des expériences aléatoires (par exemple, lancer un dé, choisir un humain au hasard), et que vous effectuez des mesures sur ces expériences (par exemple, le nombre sur les dés face supérieure, la taille, le sexe, le taux de cholestérol de l'humain) ). L'ensemble est l'ensemble de toutes les expériences possibles. Sur une expérience particulière ω ∈ Ω , vous faites une mesure X ( ω ) : c'est pourquoi formellement il est une fonction de Ω à R .$\Omega$$\omega\in\Omega$$X(\omega)$$\Omega$$\mathbb R$

Maintenant, en général, nous oublions totalement . Les variables aléatoires sont définies en fonction de leur loi de probabilité. Dans le cas d'un dé juste, vous dites simplement$\Omega$

• pourk=1,…,6(la probabilité deXégal àkest 1/6 pourkde 1 à 6),$\mathbb P(X = k) = {1\over 6}$$k=1,\dots,6$$X$$k$$k$

au lieu de

• (l'ensemble de lancers de dés sur lequel la mesure X - face supérieure - est k a une probabilité 1/6) ...$\mathbb P\left( \bigl\{ \omega \in \Omega \ : \ X(\omega) = k\bigr\}\right)$$X$$k$

C'est plus simple. Vous pouvez même éviter totalement de déranger les élèves avec .$\Omega$

J'espère que cela jette une lumière.

$X + X \ne 2X$ (le fait que X 1 et X 2 aient la même distribution n'implique pas que X 1 + X 2 ait la même distribution que 2 X 1 ).$X_1 \sim X_2 \not\Rightarrow X_1 + X_2 \sim 2X_1$$X_1$$X_2$$X_1 + X_2$$2 X_1$

[Une version antérieure de la question demandait une réponse qui évitait complètement les mathématiques; cette réponse était une tentative de donner une motivation intuitive, à un niveau similaire au document demandé.]

La page liée est fausse lorsqu'elle dit que .$X+X\neq 2X$

Dans l'exemple une variable aléatoire représente le nombre affiché sur le visage d'un dé - le résultat d'une expérience comme «lancer un dé à six faces une fois et enregistrer le nombre sur le visage du dé».$X$

Vous lancez donc un dé et écrivez ce que vous avez vu. Quel que soit le nombre que vous enregistrez est ... donc X $X$ représente le résultat ajouté à lui-même. Si vous lancez un autre dé, ce nombre que vous auriez écrit auparavant ne change pas.$X+X$

Plus loin sur la page, il est écrit:

Cependant, lorsque deux dés sont lancés, les résultats sont différents. Appelez la variable aléatoire qui représente les résultats du processus à deux dés (pour "deux"). On pourrait écrire T = X + X . Cette équation représente le fait que T est le résultat de deux instances indépendantes de la variable aléatoire$T$$T = X + X$$T$$T$

La toute fin de cette citation est vraisemblablement une erreur typographique, ils signifient pas T là (car si c'était T ils ont juste dit$X$$T$$T$$T$ était le résultat de deux instances de lui-même). Mais avec ce remplacement, c'est toujours incorrect.

Si vous avez deux instances indépendantes de l'expérience (lancez un dé, enregistrez le nombre affiché), vous avez affaire à deux variables aléatoires différentes .

$X_1$$X_2$$T$$T=X_1+X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$ - les variables aléatoires - sont distinctes.

[Il y a une excellente discussion par whuber de variables aléatoires (et des sommes d'entre elles) ici , et le concept de variables aléatoires est couvert un peu plus en détail (si dans des endroits plus techniques) ici . Je vous recommande au moins de lire la réponse au premier lien.]

Ce problème vient du fait que l'auteur a confondu la variable aléatoire avec sa distribution. Vous pouvez le voir ici:

Dans ce cas, les élèves considèrent la variable aléatoire X comme représentant une seule valeur inconnue, de la même manière qu'ils pensent aux variables algébriques. Mais X fait vraiment référence à la distribution des valeurs possibles et des probabilités associées.

Il confond explicitement la variable aléatoire avec sa distribution.

$X+X$$2X$

$T = X + X$$T = X + Y$$X$$Y$ sont les résultats des deux dés.

$X$$X$$one$ dé jeter, pas deux ou plus.

$X+X=2X$