Variables aléatoires pour lesquelles les inégalités de Markov et Chebyshev sont serrées

Je m'intéresse à la construction de variables aléatoires pour lesquelles les inégalités de Markov ou Chebyshev sont serrées.

Un exemple trivial est la variable aléatoire suivante.

. Sa moyenne est nulle, la variance est 1 et P ( | X | ≥ 1 ) = 1 . Pour cette variable aléatoire, chebyshev est serré (tient à égalité).$P(X=1)=P(X=-1) = 0.5$$P(|X| \ge 1) = 1$

$$P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1$$

Y a-t-il des variables aléatoires plus intéressantes (non uniformes) pour lesquelles Markov et Chebyshev sont serrés? Quelques exemples seraient formidables.

La classe de distributions pour laquelle le cas limite de la limite de Chebyshev est bien connue (et pas si difficile à deviner). Normalisé pour l'emplacement et l'échelle, il est

$$Z=\begin{cases}-k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\\\:0,&{\text{with probability }}1-\frac {1}{k^2}\\\:k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\end{cases}$$

C'est (à l'échelle) la solution donnée sur la page Wikipedia pour l' inégalité de Chebyshev .

$\epsilon>0$

$X=\mu+\sigma Z$

$Y=|Z|$$1-1/k^2$$1/k^2$$k$

Les inégalités de moment - et en fait de nombreuses autres inégalités similaires - ont tendance à avoir des distributions discrètes comme cas limites.

Je pense qu'il peut être impossible d'obtenir une distribution continue sur tout l'axe réel qui suit exactement la limite de Tchebychev.

$P(\mid X\mid >x)=1/x^2$$x>0$$1-1/x^2$$2/x^3$$x>0$$\mid x \mid <\alpha$$\mid x \mid^3$$\mid x\mid \geq \alpha$

$x$$x^2$$x^{-3}$$E[x]$$E[x^2]$

$P(\mid X \mid > x ) = x^{-(2+\epsilon)}$$\epsilon$$x^{-(3+\epsilon)}$$1/\epsilon$

$pdf(x) = 2/\mid x \mid^3$$\epsilon < \mid x \mid < \Lambda$

$$\epsilon = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \right) }$$ $$\Lambda = \epsilon = \sqrt{2 \left( \sqrt{e} - 1 \right) }$$ $0.887 < |x| < 1.39$