De la distribution uniforme à la distribution exponentielle et vice-versa

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Ceci est probablement une question triviale, mais ma recherche a été infructueuse jusqu'à présent, y compris cet article wikipedia , et le « Recueil des distributions » le document .

Si a une distribution uniforme, cela signifie-t-il que suit une distribution exponentielle? $X$ $e^X$

De même, si suit une distribution exponentielle, cela signifie-t-il que suit une distribution uniforme? $Y$ $ln(Y)$

— luchonacho
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Pourquoi vous attendriez-vous à ce qu'il en soit ainsi? À cause du nom? Consultez en.wikipedia.org/wiki/… pour voir comment les autres distributions sont liées à l'exponentielle. Aussi ...

\exp (X) \notin [0, \infty)

$\exp(X) \not\in [0, \infty)$

— Tim

Non, je pense que je suis en train de suivre les analogies avec les transformations de fonctions standard, en oubliant qu'avec les distributions, les choses sont différentes.

— luchonacho

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Ce n'est pas le cas que l'exponentialisation d'une variable aléatoire uniforme donne une exponentielle, ni la prise du log d'une variable aléatoire exponentielle ne donne un uniforme.

Soit uniforme sur et soit . $U$ $(0,1)$ $X=\exp(U)$

$F_X(x) = P(X \leq x) = P(\exp(U)\leq x) = P(U\leq \ln x) = \ln x\,,\quad 1<x<e$

Donc . $f_x(x) = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\,,\quad 1<x<e$

Ce n'est pas une variable exponentielle. Un calcul similaire montre que le log d'une exponentielle n'est pas uniforme.

Soit une exponentielle standard, donc . $Y$ $F_Y(y)=P(Y\leq y) = 1-e^{-y}\,,\quad y>0$

Soit . Alors . $V=\ln Y$ $F_V(v) = P(V\leq v) = P(\ln Y\leq v) = P(Y\leq e^v) = 1-e^{-e^v}\,,\quad v<0$

Ce n'est pas un uniforme. (En effet, est une variable aléatoire distribuée par Gumbel , vous pouvez donc appeler la distribution de un Gumbel inversé .) $-V$ $V$

Cependant, dans chaque cas, nous pouvons le voir plus rapidement en considérant simplement les limites des variables aléatoires. Si est uniforme (0,1), il se situe entre 0 et 1, donc se situe entre et ... donc ce n'est pas exponentiel. De même, pour exponentielle, est sur , donc cela ne peut pas être uniforme (0,1), ni même aucun autre uniforme. $U$ $X=\exp(U)$ $1$ $e$ $Y$ $\ln Y$ $(-\infty,\infty)$

Nous pourrions également simuler, et le voir à nouveau immédiatement:

Tout d'abord, exponentier un uniforme -

[la courbe bleue est la densité (1 / x sur l'intervalle indiqué) que nous avons élaborée ci-dessus ...]

Deuxièmement, le journal d'un exponentiel:

Ce que nous pouvons voir est loin d'être uniforme! (Si nous différencions le cdf que nous avons élaboré auparavant, ce qui donnerait la densité, il correspond à la forme que nous voyons ici.)

En effet, la méthode cdf inverse indique que prendre le négatif du log d'un varié uniforme (0,1) donne un varié exponentiel standard, et inversement, exponentier le négatif d'un exponentiel standard donne un uniforme. [Voir aussi transformation intégrale de probabilité ]

Cette méthode nous dit que si , . Si nous appliquons l'inverse du cdf comme transformation sur , un uniforme standard, la variable aléatoire résultante a la fonction de distribution . $U=F_Y(Y)$ $Y = F^{-1}(U)$ $U$ $F_Y$

Si nous laissons uniforme (0,1), alors . Soit . (Notez que est également uniforme sur (0,1), vous pouvez donc laisser , mais nous suivons la méthode cdf inverse en entier ici) $U$ $P(U\leq u) = u$ $Y=-\ln (1-U)$ $1-U$ $Y=-\ln U$

Alors , qui est le cdf d'une exponentielle standard. $P(Y\leq y) = P(-\ln (1-U) \leq y) = P( 1-U \geq e^{-y}) = P( U \leq 1-e^{-y}) = 1-e^{-y}$

[Cette propriété de la transformation cdf inverse est la raison pour laquelle la transformation est réellement requise pour obtenir une distribution exponentielle, et la transformation intégrale de probabilité est la raison pour laquelle l'exponentiation du négatif d'une exponentielle négative revient à un uniforme.] $\log$

— Glen_b -Reinstate Monica
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Très bonne réponse! Merci. Je le vois maintenant. J'ai calculé le CDF dans les deux cas, et j'obtiens le négatif du log dans le premier cas et la valeur absolue d'un inverse, dans le second. Je pense que ma confusion est sur la pensée en termes de transformations de fonctions standard, qui ne suit pas quand il s'agit de distributions. +1 pour les graphiques!

— luchonacho

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Vous l'avez presque en arrière. Tu as demandé:

$X$ $e^X$
$Y$ $\ln(Y)$

En réalité

$X$ $[0,1]$ $-\log_e(X)$ $1$
$Y$ $1$ $e^{-Y}$ $[0,1]$

Plus généralement, vous pourriez dire:

$X$ $[a,b]$ $-\frac1k \log_e\left(\frac{X-a}{b-a}\right)$ $k$
$Y$ $k$ $e^{-kY}$ $[0,1]$ $a+(b-a)e^{-kY}$ $[a,b]$

— Henri
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