Valeur attendue vs valeur la plus probable (mode)

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La valeur attendue d'une distribution $f(x)$ est la moyenne, c'est-à-dire la valeur moyenne pondérée

E [x] = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x

$E[x]=\int_{-\infty}^{+\infty} x \, \, f(x) dx$

La valeur la plus probable est le mode, c'est-à-dire la valeur la plus probable.

Cependant, nous attendons-nous à voir nombreuses fois? Citant d' ici : $E[x]$

Si les résultats ne sont pas également probables, alors la moyenne simple doit être remplacée par la moyenne pondérée, qui tient compte du fait que certains résultats sont plus probables que les autres. L'intuition reste cependant la même: la valeur attendue de est ce que l'on attend en moyenne . $x_i$ $x$

Je ne peux pas comprendre ce que signifie "se produire en moyenne", cela signifie-t-il que, par exemple, en prenant une mesure beaucoup de temps, je m'attends à voir plus que d'autres valeurs de ? Mais n'est-ce pas la définition du mode? $E[x]$ $x$

Alors, comment interpréter la déclaration? Et quelle est la signification probabiliste de ? $E[x]$

Je voudrais également montrer un exemple où je suis confus. En étudiant la j'ai appris que le mode est , alors que , où sont les degrés de liberté des données. $\chi^2$ $\chi^2_{mode}=\nu-2$ $E[\chi^2]=\nu$ $\nu$

J'ai entendu à l'université que, lors d'un après avoir utilisé la méthode des moindres carrés pour ajuster un ensemble de données, je devrais m'attendre à obtenir parce que "c'est ce qui se passe en général". $\chi^2$ $\chi^2 \approx \nu$

Ai-je mal compris tout cela ou la valeur attendue est-elle en quelque sorte très probable? (Même si la valeur la plus probable est bien sûr le mode)

— Sørën
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J'aime vraiment la puissance de la métaphore des tickets dans une boîte pour cette question, car elle produit une réponse simple et claire: l'attente d'une variable aléatoire est la somme de ses valeurs (telles qu'elles sont dessinées sur les tickets) divisée par le nombre de billets. C'est ça. Tout énoncé qui ne découle pas de cette définition (ou de ses équivalents mathématiques plus sophistiqués) est juste une heuristique et pourrait très bien être incorrect dans certaines circonstances.

— whuber

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Pour une distribution normale, la valeur attendue, alias la moyenne, est égale au mode.

En général, non seulement la valeur attendue n'est pas seulement la plus probable (ou à la densité la plus élevée), mais elle peut n'avoir aucune chance de se produire. Par exemple, considérons la variable aléatoire X qui est égale à 0 ou 2, chacune avec une probabilité de 0,5. Alors EX = 1, mais la valeur attendue, 1, a 0 probabilité de se produire, tandis que 0 et 2 sont les deux modes de distribution.

La citation "la valeur attendue de x est ce que l'on s'attend à ce qu'il se produise en moyenne" est un langage profane non technique qui, comme le montre votre confusion, ne sert qu'à confondre les choses. La valeur attendue a une signification très spécifique en probabilité comme étant la moyenne mathématique. Alors que dans le langage profane, une valeur attendue ou "en moyenne" peut être quelque chose qui devrait normalement se produire. Ceux-ci peuvent être rapprochés si "en moyenne" est interprété comme étant la moyenne mathématique de ce qui se produit.

Attendez-vous à vous,

Joe Average

— Mark L. Stone
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Se pose la question: qu'en est-il de la médiane, qui est garantie d'être possible ?

— étoile brillante

Comme l'a dit @TrevorAlexander, le mode ne donne pas non plus de garanties. Considérez le mode de distribution continue.

— Tim

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P (X \leq m) \geq 1 / 2

$P(X \le m) \ge 1/2$

P (X \geq m) \geq 1 / 2

$P(X \ge m) \ge 1/2$

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P (X = E (X)) = 0

$P( X = E(X) ) = 0$

X

$X$

La seule justification de la valeur attendue, et la raison pour laquelle nous "nous attendons à la voir souvent", est la loi des grands nombres :

$n$ $X_i$

\frac{X_{1} + \dots + X_{n}}{n} \to E (X)

$\frac {X_1 + \dots + X_n}{n} \to E(X)$

$\to$

$p> \frac 12$ $1$ $1-p$ $0$

E (X) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p

$E(X) = 1\cdot p + 0\cdot(1-p) = p$

Maintenant, clairement "p" ne se produira jamais (c'est la tête ou la queue, soit 0 ou 1).

$E(X) = p$

— Fourmi
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Je ne dirais pas que la loi des grands nombres est la seule justification de la valeur attendue. Par exemple, en.wikipedia.org/wiki/… est une justification pour considérer les valeurs attendues des fonctions d'utilité (je n'ai pas étudié la preuve mais je suis surpris si elle est en quelque sorte basée sur la loi des grands nombres).

— Juho Kokkala

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Je n'aime pas le terme «valeur attendue» et ne l'ai pas utilisé pour enseigner la probabilité. "La moyenne arithmétique" est meilleure, à mon avis, parce que la moyenne arithmétique d'un dé à 6 faces est de 3,5 mais un tel nombre ne se produit pas. J'ai entendu à l'origine le terme «valeur attendue» pour le concept au collège. De nombreux termes techniques ne correspondent pas à la signification non technique évidente. ("Ou" me vient à l'esprit.)

Notez qu'une distribution peut avoir plus d'un mode mais la moyenne arithmétique est unique. Le mode, la moyenne et la médiane sont différents et ont des utilisations différentes.

— ttw
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Joli sur le "ou". Cela m'a fait penser à mon cours de programmation linéaire dans lequel nous avons étudié plusieurs théorèmes de l'alternative. Ils étaient de la forme "Soit A est vrai ou B est vrai, mais pas les deux". C'est beaucoup plus facile de l'exprimer comme A xor B. Je n'entends pas beaucoup d'utilisation de xor dans une conversation de rue décontractée.

— Mark L. Stone

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La différence est plus facile à voir avec les distributions discrètes:

Considérons deux ensembles de valeurs où chaque nombre est également susceptible d'être tiré: {1,2,2,2,10} et {1,2,2,2,3}.

Les deux ont le même mode (2), mais les valeurs attendues diffèrent. La valeur attendue donne un poids supplémentaire aux grandes valeurs tandis que le mode recherche simplement quelle valeur se produit fréquemment. Donc, si vous tiriez de cette distribution plusieurs fois, votre moyenne d'échantillon serait proche de la valeur attendue, tandis que l'entier le plus courant se produirait serait le plus proche du mode.

$mode=arg{\max{f(x)}}$ $x*f(x)$

L'utilisation de la langue pour distinguer les différentes mesures de la tendance centrale est un problème courant lors de l'apprentissage des statistiques. Par exemple, la médiane est une autre mesure qui n'est pas faussée par de grandes valeurs comme la moyenne.

— VCG
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