Moyenne de la distribution exponentielle inverse

Étant donné une variable aléatoire , quelles sont la moyenne et la variance de ?G = $Y = Exp(\lambda)$$G=\dfrac{1}{Y}$

Je regarde la distribution gamma inverse, mais la moyenne et la variance ne sont définies que pour et respectivement ...α > $\alpha>1$$\alpha>2$

Étant donné que la distribution exponentielle inverse a , vous êtes tombé sur le fait que la moyenne de l'exponentielle inverse est . Et par conséquent, la variance de l'exponentielle inverse n'est pas définie.$\alpha = 1$$\infty$

Si est distribué de façon exponentielle inverse, existe et est fini pour , et pour .E ( G r ) r < 1 = ∞ r = $G$$E(G^r)$$r < 1$$= \infty$$r = 1$

Je vais montrer le calcul de la moyenne d'une distribution exponentielle afin qu'il vous rappelle l'approche. Ensuite, je vais opter pour l'exponentielle inverse avec la même approche.

Soit $f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda y}$

$E[Y] = \int_0^\infty{yf_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{y \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{y e^{-\lambda y} dy}$

Intégration par partie (ignorez pour l'instant le devant l'intégrale),$\lambda$

$u = y, dv=e^{-\lambda y} dy$

$du = dy, v = \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \int_0^\infty{ \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty{ e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda y}$

Multipliez par le devant l'intégrale,$\lambda$

$= - y e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda y}$

Évaluer pour et ∞ ,$0$$\infty$

$= (0 - 0) - \frac{1}{\lambda} (0 - 1)$

$= \lambda^{-1}$

Ce qui est un résultat connu.

Pour , la même logique s'applique.$G = \frac{1}{Y}$

$E[G] = E[\frac{1}{Y}]= \int_0^\infty{\frac{1}{y} f_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{\frac{1}{y} \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{\frac{1}{y} e^{-\lambda y} dy}$

La principale différence est que pour une intégration par pièces,

$u = y^{-1}$

et

$du = -1y^{-2}$

donc ça ne nous aide pas pour . Je pense que l'intégrale n'est pas définie ici. Wolfram alpha me dit qu'il ne converge pas.$G = \frac{1}{y}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

$\alpha=1$$\alpha \gt 2$

Après une simulation rapide (en R), il semble que la moyenne n'existe pas:

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

À des fins de comparaison, voici ce qui se passe avec une véritable variable aléatoire exponentielle.