Combinaison linéaire de deux variables aléatoires normales multivariées dépendantes

Supposons que nous ayons deux vecteurs de variables aléatoires, les deux sont normaux, c'est-à-dire et . Nous nous intéressons à la distribution de leur combinaison linéaire , où et sont des matrices, est un vecteur. Si et sont indépendants, $X \sim N(\mu_X, \Sigma_X)$ $Y \sim N(\mu_Y, \Sigma_Y)$ $Z = A X + B Y + C$ $A$ $B$ $C$ $X$ $Y$ . La question est dans le cas dépendant, en supposant que nous connaissons la corrélation de n'importe quelle paire . Je vous remercie. $Z \sim N(A \mu_X + B \mu_Y + C, A \Sigma_X A^T + B \Sigma_Y B^T)$ $(X_i, Y_i)$

Meilleurs voeux, Ivan

probability normal-distribution multinomial

— Ivan
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Réponses:

Dans ce cas, vous devez écrire (avec des notations, espérons-le, claires) ( édité: en supposant une normalité conjointe de ) Puis et

(\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}) \sim N [(\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}), Σ_{X, Y}]

$\left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right) \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right), \Sigma_{X,Y} \right]$

(X, Y)

$(X,Y)$

A X + B Y = (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix})

$AX+BY=\left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right)$

soit

A X + B Y + C \sim N [(\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}) + C, (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) Σ_{X, Y} (\begin{matrix} A^{T} \\ B^{T} \end{matrix})]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right) + C, \left(\begin{matrix}A & B \end{matrix}\right)\Sigma_{X,Y} \left(\begin{matrix}A^T \\ B^T \end{matrix}\right)\right]$

A X + B Y + C \sim N [A μ_{X} + B μ_{Y} + C, A Σ_{X X} A^{T} + B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T} + B Σ_{Y Y} B^{T}]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[A\mu_X + B\mu_Y +C, A\Sigma_{XX}A^T+B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{YY}B^T \right]$

— Xi'an
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X

$X$

Y

$Y$

B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T}

$B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T$

2 A Σ_{X Y} B^{T}

$2A\Sigma_{XY}B^T$

B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T} = (A Σ_{X Y} B^{T})^{T} + A Σ_{X Y} B^{T}

$B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T = (A\Sigma_{XY}B^T)^T + A\Sigma_{XY}B^T$

Σ_{X Y}

$\Sigma_{XY}$

(i, j)

$(i,j)$

cov (X_{i}, Y_{j})

$\text{cov}(X_i,Y_j)$

(j, i)

$(j,i)$

cov (X_{j}, Y_{i})

$\text{cov}(X_j,Y_i)$

@DilipSarwate: (+1) vous avez raison, dans le cas général, il n'y a aucune raison pour que ces deux termes soient égaux.

— Xi'an

$X$ $Y$ $\Sigma_{XY}$ $W=(X^T,Y^T)^T$ $Z$ $W$

Z = (A, B) W + C

$Z=(A,B)W+C$

$A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{XY}^TA^T$

— probabilitéislogique
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Merci d'avoir signalé ce problème, en fait, je n'y ai même pas pensé, mais il semble que les variables soient en effet, dans mon cas, considérées comme distribuées normalement conjointement, même si leurs composants sont corrélés.

— Ivan

X

$X$

Y

$Y$

cov (X_{i}, Y_{j})

$\text{cov}(X_i,Y_j)$

i, j

$i, j$ $W = (X^T,Y^T)^T$ . Toutes les deux variables aléatoires avec des écarts finis ont une covariance. La covariance n'est pas définie uniquement pour des variables aléatoires normales ou conjointement normales.

— Dilip Sarwate

a^{T} X

$a^T X$

a

$a$

X \sim N (μ_{X}, Σ_{X})

$X\sim N(\mu_X,\Sigma_X)$

Y \sim N (μ_{Y}, Σ_{Y})

$Y\sim N(\mu_Y,\Sigma_Y)$

X

$X$

Y

$Y$

(X_{i}, Y_{i})

$(X_i,Y_i)$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

X \sim N (μ_{X}, Σ_{X})

$X\sim N(\mu_X,\Sigma_X)$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

@Ivan Voir la discussion suite à cette question

— Dilip Sarwate