Distribution de la forme quadratique des normales

J'essaie de comprendre la distribution de où , iid je sais que, en prenant chacun des termes séparément, et Mais je ne suis pas sûr de la distribution de (*)

(n - 1) \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} - {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} (*)

$(n-1) \sum_{i=1}^n Z_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \qquad (*)$

Z_{i} \sim N (0, 1)

$Z_i \sim \mathcal{N}(0,1)$

\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} \sim χ^{2} (n)

$\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)$

\frac{1}{n} {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} \sim χ^{2} (1) .

$\frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \sim \chi^2(1).$

probability distributions normal-distribution

— Zailei Chen
source

Bienvenue sur notre site! Est-ce une question d'un cours ou d'un manuel? Si oui, veuillez ajouter la [self-study]balise et lire son wiki . Sinon, il serait intéressant de savoir dans quel contexte ce problème s'est posé. Merci de nous avoir montré ce que vous avez fait et où vous êtes coincé

— Silverfish

@Silverfish Non, c'est juste quelque chose que j'essaie de comprendre. J'ai distillé le problème jusqu'à cette simple question; mon problème d'origine est un peu plus compliqué, j'en ai bien peur! J'ai donc essayé de ne demander que la partie sur laquelle j'ai vraiment besoin d'aide. Mais, si cela ressemble à un problème de manuel, je serais très intéressé d'apprendre de quel texte, en espérant qu'il fournisse les informations pertinentes :)

— Zailei Chen

Cela semble raisonnable! Aussi, merci d'utiliser la composition Latex, nous apprécions toujours l'effort

— Silverfish

Voici une tentative :

Considérons tel que et avec $Z=X-Y$ $X \sim \chi^2(\alpha)$ $Y \sim \chi^2(\beta)$ $\alpha \geq \beta$

M_{X} (t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2}

$\mathcal{M}_X(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}$

M_{Y} (t) = {(1 - 2 t)}^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Y(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = M_{X} (t) M_{Y} (- t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2} {(1 + 2 t)}^{- β / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = M_X(t)M_Y(-t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}\left(1+2 \, t\right)^{-\beta/2} = (1-4t^2)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2} (1 + 2 t)^{- 1 / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- 1 / 2} (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = (1-2t)^{-n/2}(1+2t)^{-1/2} = (1-4t^2)^{-1/2} (1-2t)^{-(n-1)/2}$

Je ne sais pas si elle peut être réduite à une MGF insondable.

— droits
source

Une discussion d'une situation légèrement plus générale apparaît sur stats.stackexchange.com/questions/72479 , avec une référence à un document qui offre une approximation.

— whuber