Comment savons-nous que la probabilité de rouler 1 et 2 est de 1/18?

Depuis ma première classe de probabilité, je m'interroge sur les points suivants.

Le calcul des probabilités est généralement introduit via le rapport des «événements favorisés» au total des événements possibles. Dans le cas où vous lancez deux dés à 6 faces, le nombre d'événements possibles est de , comme indiqué dans le tableau ci-dessous.$36$

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

Si nous étions donc intéressés à calculer la probabilité de l'événement A "roulant un et un 2 ", nous verrions qu'il y a deux "événements favoris" et calculerions la probabilité de l'événement comme \ frac {2} {36} = \ frac {1} {18} .2 $1$$2$$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$

Maintenant, ce qui m'a toujours fait me demander, c'est: Disons qu'il serait impossible de faire la distinction entre les deux dés et que nous ne les observerions qu'après avoir été lancés, alors par exemple nous observerions "Quelqu'un me donne une boîte. J'ouvre la boîte. Il y a un $1$ et un $2$ ". Dans ce scénario hypothétique, nous ne serions pas en mesure de distinguer les deux dés, nous ne saurions donc pas qu'il y a deux événements possibles menant à cette observation. Ensuite, nos événements possibles voudraient que:

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline & & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline & & & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline & & & & (5,5) & (5,6) \\ \hline & & & & & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

et nous calculerions la probabilité de l'événement A comme $\frac{1}{21}$ .

Encore une fois, je suis pleinement conscient du fait que la première approche nous conduira à la bonne réponse. La question que je me pose est:

Comment savons-nous que $\frac{1}{18}$ est correct?

Les deux réponses que j'ai trouvées sont:

• Nous pouvons le vérifier empiriquement. Autant que je suis intéressé par cela, je dois admettre que je ne l'ai pas fait moi-même. Mais je pense que ce serait le cas.
• En réalité, nous pouvons distinguer les dés, comme l'un est noir et l'autre bleu, ou lancer l'un avant l'autre ou simplement connaître les événements possibles, puis toute la théorie standard fonctionne.$36$

Mes questions sont:

• Quelles sont les autres raisons pour lesquelles nous savons que est correct? (Je suis presque sûr qu'il doit y avoir quelques raisons (au moins techniques) et c'est pourquoi j'ai posté cette question)$\frac{1}{18}$
• Y a-t-il un argument de base contre l'hypothèse que nous ne pouvons pas du tout faire de distinction entre les dés?
• Si nous supposons que nous ne pouvons pas distinguer les dés et que nous n'avons aucun moyen de vérifier empiriquement la probabilité, même correct ou ai-je oublié quelque chose?$P(A) = \frac{1}{21}$

Merci d'avoir pris le temps de lire ma question et j'espère qu'elle est suffisamment précise.

Imaginez que vous avez lancé votre dé à six faces et vous avez obtenu ⚀. Le résultat était si fascinant que vous avez appelé votre ami Dave et lui en avez parlé. Comme il était curieux de savoir ce qu'il obtiendrait en lançant son dé à six faces, il l'a lancé et a obtenu got.

Un dé standard a six faces. Si vous n'êtes pas tricher alors il atterrit sur chaque côté avec une probabilité égale, à savoir à fois. La probabilité que vous jetiez ⚀, la même que pour les autres côtés, est . La probabilité que vous lanciez ⚀ et que votre ami lance ⚁ est car les deux événements sont indépendants et nous nous multiplions probabilités indépendantes. En d'autres termes, il existe arrangements de ces paires qui peuvent être facilement répertoriés (comme vous l'avez déjà fait). La probabilité de l'événement opposé (vous lancez ⚁ et votre ami lance ⚀) est également6 $1$$6$$\tfrac{1}{6}$ 36$\tfrac{1}{6} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36}$$36$$\tfrac{1}{36}$. Les probabilités que vous lancez ⚀, et votre ami lance ows, ou que vous lancez ⚁, et votre ami lance ⚀, sont exclusives , nous les ajoutons donc . Parmi tous les arrangements possibles, deux remplissent cette condition.$\tfrac{1}{36} + \tfrac{1}{36} = \tfrac{2}{36}$

Comment savons-nous tout cela? Eh bien, pour des raisons de probabilité , de combinatoire et de logique, mais ces trois-là ont besoin de connaissances factuelles sur lesquelles s'appuyer. Nous savons sur la base de l' expérience de milliers de joueurs et de la physique, qu'il n'y a aucune raison de croire qu'un dé à six faces équitable a autre chose qu'une chance équivalente d'atterrir de chaque côté. De même, nous n'avons aucune raison de soupçonner que deux lancers indépendants sont en quelque sorte liés et s'influencent mutuellement.

Vous pouvez imaginer une boîte avec des tickets étiquetés en utilisant toutes les combinaisons (avec répétition) de nombres de à . Cela limiterait le nombre de résultats possibles à et modifierait les probabilités. Cependant, si vous pensez à une telle définition en termes de dés, vous devrez alors imaginer deux dés qui sont en quelque sorte collés ensemble. C'est quelque chose de très différent de deux dés qui peuvent fonctionner indépendamment et peuvent être lancés seuls en atterrissant de chaque côté avec une probabilité égale sans affecter les uns les autres.1 6 $2$$1$$6$$21$

Cela dit, il faut dire que de tels modèles sont possibles, mais pas pour des choses comme les dés. Par exemple, en physique des particules basée sur des observations empiriques, il est apparu que la statistique de Bose-Einstein des particules non distinguables (voir aussi le problème des étoiles et des barres ) est plus appropriée que le modèle des particules distinguables. Vous pouvez trouver quelques remarques sur ces modèles dans Probability ou Probability via Expectation de Peter Whittle, ou dans le volume un de An introduction to probory theory and its applications de William Feller.

Je pense que vous ignorez le fait que peu importe si "nous" pouvons distinguer les dés ou non, mais il importe plutôt que les dés soient uniques et distincts et agissent de leur propre gré.

Donc, si dans le scénario de la boîte fermée, vous ouvrez la boîte et voyez un 1 et un 2, vous ne savez pas si c'est ou , car vous ne pouvez pas distinguer les dés. Cependant, et mèneraient au même visuel que vous voyez, c'est-à-dire un 1 et un 2. Il y a donc deux résultats favorisant ce visuel. De même pour chaque paire différente, il y a deux résultats favorisant chaque visuel, et donc il y a 36 résultats possibles.( 2 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 2 , 1 $(1,2)$$(2,1)$$(1,2)$$(2,1)$

Mathématiquement, la formule de la probabilité d'un événement est

$$\dfrac{\text{Number of outcomes for the event}}{\text{Number of total possible outcomes}}.$$

Cependant, cette formule ne s'applique que lorsque chaque résultat est également probable . Dans le premier tableau, chacune de ces paires est également probable, donc la formule est vraie. Dans votre deuxième tableau, chaque résultat n'est pas aussi probable, donc la formule ne fonctionne pas. La façon dont vous trouvez la réponse à l'aide de votre tableau est

Probabilité de 1 et 2 = Probabilité de + Probabilité de = .$(1,2)$$(2,1)$$\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{18}$

Une autre façon de penser à cela est que cette expérience est exactement la même chose que de lancer chaque dé séparément, où vous pouvez repérer Die 1 et Die 2. Ainsi, les résultats et leurs probabilités correspondront à l'expérience en boîte fermée.

Imaginons que le premier scénario implique de lancer un dé rouge et un dé bleu, tandis que le second implique de lancer une paire de dés blancs.

6) \\ \ hline \ end {array} Nos dés idéalisés sont équitables (chaque résultat est également probable) et vous avez répertorié chaque résultat. Sur cette base, vous concluez correctement qu'un et un deux se produisent avec probabilité

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \frac{\textrm{Blue}}{\textrm{Red}}&1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & \mathbf{(1,2)} & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & \mathbf{(2,1)} & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$ $\frac{2}{36}$ ouJusqu'ici tout va bien.$\frac{1}{18}.$

Supposez ensuite que vous lancez deux dés identiques à la place. Vous avez correctement répertorié tous les résultats possibles, mais vous avez supposé à tort que tous ces résultats sont également probables. En particulier, les résultats sont deux fois moins probables que les autres résultats. Pour cette raison, vous ne pouvez pas simplement calculer la probabilité en additionnant le nombre de résultats souhaités sur le nombre total de résultats. Au lieu de cela, vous devez pondérer chaque résultat par la probabilité qu'il se produise. Si vous parcourez les mathématiques, vous constaterez que le résultat est le même - un événement doublement probable au numérateur sur 15 événements à double probabilité et 6 événements singleton.$(n,n)$

La question suivante est "comment pourrais-je savoir que les événements ne sont pas tous aussi probables?" Une façon d'y penser est d'imaginer ce qui se passerait si vous pouviez distinguer les deux dés. Peut-être que vous mettez une petite marque sur chaque dé. Cela ne peut pas changer le résultat, mais cela réduit le problème précédent. Alternativement, supposons que vous écriviez le graphique de sorte qu'au lieu de Bleu / Rouge, il indique Die gauche / Die droite.

Comme exercice supplémentaire, pensez à la différence entre voir un résultat ordonné (rouge = 1, bleu = 2) par rapport à un résultat non ordonné (un dé montrant 1, un dé montrant 2).

L'idée clé est que si vous listez les 36 résultats possibles de deux dés distincts, vous listez les résultats tout aussi probables . Ce n'est pas évident, ni axiomatique; ce n'est vrai que si vos dés sont justes et non connectés. Si vous énumérez les résultats des dés indiscernables, ils ne sont pas également probables, car pourquoi devraient-ils l'être, pas plus que les résultats «gagner à la loterie» et «ne pas gagner à la loterie» sont également probables.

Pour arriver à la conclusion, vous avez besoin de:

• Nous travaillons avec des dés équitables, pour lesquels les six nombres sont également probables.
• Les deux dés sont indépendants, de sorte que la probabilité que le numéro deux obtienne un numéro particulier est toujours indépendante du numéro que le numéro un a donné. (Imaginez plutôt lancer le même dé deux fois sur une surface collante d'une sorte qui a fait sortir le deuxième rouleau différemment.)

Compte tenu de ces deux faits concernant la situation, les règles de probabilité vous indiquent que la probabilité de réaliser n'importe quelle paire est la probabilité de réaliser au premier dé fois que celle de réaliser le second. Si vous commencez à regrouper et ensemble, alors vous n'avez plus la simple indépendance des événements pour vous aider, vous ne pouvez donc pas simplement multiplier les probabilités. Au lieu de cela, vous avez créé une collection d'événements mutuellement exclusifs (si ), vous pouvez donc ajouter en toute sécurité les probabilités d'obtenir et s'ils sont différents.$(a,b)$$a$$b$$(a,b)$$(b,a)$$a \neq b$$(a,b)$$(b,a)$

L'idée que vous pouvez obtenir des probabilités en comptant simplement les possibilités repose sur des hypothèses de probabilité et d'indépendance égales. Ces hypothèses sont rarement vérifiées dans la réalité, mais presque toujours dans les problèmes de classe.

Si vous traduisez cela en termes de pièces - disons, en retournant deux pièces de monnaie indiscernables - cela devient une question de seulement trois résultats: 2 têtes, 2 queues, 1 de chaque, et le problème est plus facile à repérer. La même logique s'applique, et nous voyons qu'il est plus probable d'en obtenir 1 de chaque que d'obtenir 2 têtes ou 2 queues.

C'est le caractère glissant de votre deuxième tableau - il représente tous les résultats possibles, même s'ils ne sont pas tous des probabilités également pondérées , comme dans le premier tableau. Il serait mal défini d'essayer de préciser ce que signifie chaque ligne et colonne du deuxième tableau - elles ne sont significatives que dans le tableau combiné où chaque résultat a 1 case, quelle que soit la probabilité, alors que le premier tableau affiche "tous les résultats tout aussi probables du dé 1, chacun ayant sa propre ligne, "et de même pour les colonnes et le dé 2.

Commençons par énoncer l'hypothèse: les dés indiscernables ne lancent que 21 résultats possibles, tandis que les dés distinguables lancent 36 résultats possibles.

Pour tester la différence, obtenez une paire de dés blancs identiques. Enrobez-en un dans un matériau absorbant les UV comme un écran solaire, qui est invisible à l'œil nu. Les dés semblent toujours indiscernables jusqu'à ce que vous les regardiez sous une lumière noire, lorsque le dé revêtu apparaît noir tandis que le dé propre brille.

Cachez la paire de dés dans une boîte et secouez-la. Quelles sont les chances que vous obteniez un 2 et un 1 lorsque vous ouvrez la boîte? Intuitivement, vous pourriez penser que «lancer un 1 et un 2» n'est que l'un des 21 résultats possibles, car vous ne pouvez pas distinguer les dés. Mais si vous ouvrez la boîte sous une lumière noire, vous pouvez les distinguer. Lorsque vous pouvez distinguer les dés, "lancer un 1 et un 2" est 2 des 36 combinaisons possibles.

Est-ce à dire qu'une lumière noire a le pouvoir de changer la probabilité d'obtenir un certain résultat, même si les dés ne sont exposés à la lumière et observés qu'après avoir été lancés? Bien sûr que non. Rien ne change les dés une fois que vous avez arrêté de secouer la boîte. La probabilité d'un résultat donné ne peut pas changer.

Étant donné que l'hypothèse d'origine dépend d'un changement qui n'existe pas, il est raisonnable de conclure que l'hypothèse d'origine était incorrecte. Mais qu'en est-il de l'hypothèse originale qui est incorrecte - que les dés indiscernables ne lancent que 21 résultats possibles, ou que les dés distinguables lancent 36 résultats possibles?

De toute évidence, l'expérience de la lumière noire a démontré que l'observation n'a aucun impact sur la probabilité (au moins à cette échelle - la probabilité quantique est une question différente) ou la netteté des objets. Le terme "indiscernable" décrit simplement quelque chose que l'observation ne peut pas différencier d'autre chose. En d'autres termes, le fait que les dés apparaissent les mêmes dans certaines circonstances (c'est-à-dire qu'ils ne sont pas sous une lumière noire) et pas d'autres n'a aucune incidence sur le fait qu'ils sont vraiment deux objets distincts. Cela serait vrai même si les circonstances dans lesquelles vous pouvez les distinguer ne sont jamais découvertes.

En bref: votre capacité à distinguer les dés lancés n'a pas d'importance lors de l'analyse de la probabilité d'un résultat particulier. Chaque dé est intrinsèquement distinct. Tous les résultats sont basés sur ce fait, pas sur le point de vue d'un observateur.

Nous pouvons en déduire que votre deuxième tableau ne représente pas le scénario avec précision.

Vous avez éliminé toutes les cellules en dessous et à gauche de la diagonale, en supposant que (1, 2) et (2, 1) sont des résultats congruents et donc redondants.

Supposez plutôt que vous lancez un dé deux fois de suite. Est-il valable de compter 1-puis-2 comme un résultat identique à 2-puis-1? Pas du tout. Même si le résultat du deuxième rouleau ne dépend pas du premier, ce sont toujours des résultats distincts. Vous ne pouvez pas éliminer les réarrangements en tant que doublons. Maintenant, lancer deux dés à la fois est la même chose que lancer un dé deux fois de suite. Vous ne pouvez donc pas éliminer les réarrangements.

(Toujours pas convaincu? Voici une sorte d'analogie. Vous marchez de votre maison jusqu'au sommet de la montagne. Demain, vous revenez. Y avait-il un moment dans le temps les deux jours où vous étiez au même endroit? Peut-être? Maintenant imaginez vous marchez de votre maison au sommet de la montagne, et le même jour une autre personne marche du sommet de la montagne à votre maison. Y a-t-il un moment de la journée où vous vous rencontrez? Evidemment oui. Ce sont la même question. Transposition en cas d' événements non emmêlés ne change pas les déductions qui peuvent être faites de ces événements.)

$1$$2$

Si nous savons que les deux dés sont justes et qu'ils ont été lancés, alors la probabilité est de 1/18 comme toutes les autres réponses l'ont expliqué. Le fait que nous ne savons pas si le dé avec 1 o le dé avec 2 a été lancé en premier n'a pas d'importance, car nous devons tenir compte des deux façons - et donc la probabilité est de 1/18 au lieu de 1/36.

Mais si nous ne savons pas quel processus a conduit à la combinaison 1-2, nous ne pouvons rien savoir de la probabilité. Peut-être que la personne qui nous a remis la boîte a délibérément choisi cette combinaison et a collé les dés dans la boîte (probabilité = 1), ou peut-être a-t-elle secoué la boîte en lançant les dés (probabilité = 1/18) ou il aurait pu choisir au hasard combinaison des 21 combinaisons du tableau que vous nous avez donné dans la question, donc probabilité = 1/21.

En résumé, nous connaissons la probabilité parce que nous savons quel processus conduit à la situation finale, et nous pouvons calculer la probabilité pour chaque étape (probabilité pour chaque dé). Le processus est important, même si nous ne l'avons pas vu se produire.

Pour terminer la réponse, je vais donner quelques exemples où le processus compte beaucoup:

• Nous lançons dix pièces. Quelle est la probabilité d'avoir des têtes dix fois? Vous pouvez voir que la probabilité (1/1024) est beaucoup plus petite que la probabilité d'obtenir un 10 si nous choisissons simplement un nombre aléatoire entre 0 et 10 (1/11).
• Si vous avez apprécié ce problème, vous pouvez essayer le problème Monty Hall . C'est un problème similaire où le processus importe beaucoup plus que ce à quoi notre intuition pourrait s'attendre.

La probabilité des événements A et B est calculée en multipliant les deux probabilités.

La probabilité d'obtenir un 1 lorsqu'il y a six options possibles est de 1/6. La probabilité de lancer un 2 lorsqu'il y a six options possibles est de 1/6.

1/6 * 1/6 = 1/36.

Cependant, l'événement n'est pas subordonné au temps (en d'autres termes, il n'est pas nécessaire que nous lançions un 1 avant un 2; seulement que nous lançions à la fois un 1 et 2 en deux rouleaux).

Ainsi, je pouvais rouler un 1 puis 2 et satisfaire la condition de rouler à la fois 1 et 2, ou je pouvais rouler un 2 puis 1 et satisfaire la condition de rouler à la fois 1 et 2.

La probabilité de rouler 2 puis 1 a le même calcul:

1/6 * 1/6 = 1/36.

La probabilité de A ou B est la somme des probabilités. Supposons donc que l'événement A roule 1 puis 2, et que l'événement B roule 2 puis 1.

Probabilité de l'événement A: 1/36 Probabilité de l'événement B: 1/36

1/36 + 1/36 = 2/36 qui se réduit à 1/18.